Licence 2
Séries numériques, Suites et Séries de fonctions
Ressources pédagogiques — Cours, exercices et évaluations
Chapitre 1Séries numériques
I — Définition et convergence d’une série numérique
Définition 1 — Série numérique, convergence, reste
Soit \((u_{n})_{n \geq 0}\) une suite de nombres réels. On définit la suite des sommes partielles par : \[S_n = u_0 + u_{1} + \dots + u_{n} = \sum_{k=0}^{n} u_{k}\]
Soit \((u_{n})_{n \geq 0}\) une suite de nombres réels. On définit la suite des sommes partielles par : \[S_n = u_0 + u_{1} + \dots + u_{n} = \sum_{k=0}^{n} u_{k}\]
- Si \((S_n)\) admet une limite finie \(\ell\) quand \(n\to+\infty\), on note \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \ell\), appelée somme de la série, et on dit que la série converge. Sinon, elle diverge.
- \(u_n\) est le terme général et \(S_n\) la somme partielle de rang \(n\).
- Si la série converge, on appelle reste d’ordre \(n\) : \(R_n = \ell – S_n = \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k\).
Remarques.
- Étudier la convergence d’une série revient à étudier la convergence de \((S_n)\).
- Convention de notation :
- \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) désigne le nom de la série (on parle de sa nature).
- \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \ell\) est utilisé quand la série converge et vaut \(\ell\).
- \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = S_n\) désigne la somme partielle de rang \(n\).
Proposition 1 — Condition nécessaire de convergence
Pour que \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) converge, il est nécessaire que \(u_n\to 0\). Cette condition n’est pas suffisante. Si \(u_n \not\to 0\), on dit que la série diverge grossièrement.
Pour que \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) converge, il est nécessaire que \(u_n\to 0\). Cette condition n’est pas suffisante. Si \(u_n \not\to 0\), on dit que la série diverge grossièrement.
Exercice 1
Soit \(u_n=\dfrac{1}{n(n+1)}\) pour \(n \geq 1\). Décomposer \(u_n\) en éléments simples, détailler \(\displaystyle S_N = \sum_{k=1}^{N} u_k\), puis montrer que \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} u_n\) converge et déterminer sa somme.
Soit \(u_n=\dfrac{1}{n(n+1)}\) pour \(n \geq 1\). Décomposer \(u_n\) en éléments simples, détailler \(\displaystyle S_N = \sum_{k=1}^{N} u_k\), puis montrer que \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} u_n\) converge et déterminer sa somme.
Remarque pratique. Une fois la convergence établie, les sommes partielles \(S_n\) approchent \(S\) avec une précision contrôlée par \(R_n\).
II — Série géométrique
Définition 2 — Série géométrique
Une série géométrique est de la forme \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} q^{n}\), avec \(q \in \mathbb{R}\) (ou \(\mathbb{C}\)).
Une série géométrique est de la forme \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} q^{n}\), avec \(q \in \mathbb{R}\) (ou \(\mathbb{C}\)).
Proposition 2 — Convergence de la série géométrique
\(\displaystyle\sum_{n \geq 0} q^{n}\) converge si et seulement si \(|q|<1\), et alors : \[\sum_{n=0}^{+\infty} q^{n}=\frac{1}{1-q}, \qquad S_n = \sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}.\]
\(\displaystyle\sum_{n \geq 0} q^{n}\) converge si et seulement si \(|q|<1\), et alors : \[\sum_{n=0}^{+\infty} q^{n}=\frac{1}{1-q}, \qquad S_n = \sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}.\]
Exercice 2
Étudier la convergence des séries suivantes et calculer leur somme lorsqu’elle existe.
Étudier la convergence des séries suivantes et calculer leur somme lorsqu’elle existe.
- \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} \frac{3^n + 2^n}{6^n}\) 2. \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n\cdot 3^n}{5^{n+1}}\) 3. \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{1}{4^n-1}\) (comparer à une série géométrique)
- Montrer que si \(|q|<1\) alors \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n\,q^{n-1} = \frac{1}{(1-q)^2}\), puis calculer \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{2^n}\).
III — Séries à termes positifs
Définition 3 — Série à termes positifs
\(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) est à termes positifs si \(u_n \geq 0\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
\(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) est à termes positifs si \(u_n \geq 0\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Remarque. \((S_n)\) est alors croissante ; la série converge si et seulement si \((S_n)\) est majorée.
1. Comparaison série – intégrale
Théorème 1 — Critère de comparaison série-intégrale
Soit \(f : [1,+\infty) \to \mathbb{R}\) une fonction continue, positive et décroissante. Alors, pour tout \(N \geq 1\) : \[\int_{1}^{N+1} f(x)\,dx \;\leq\; \sum_{k=1}^{N} f(k) \;\leq\; f(1) + \int_{1}^{N} f(x)\,dx\] En particulier, la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} f(n)\) et l’intégrale \(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} f(x)\,dx\) sont de même nature.
Soit \(f : [1,+\infty) \to \mathbb{R}\) une fonction continue, positive et décroissante. Alors, pour tout \(N \geq 1\) : \[\int_{1}^{N+1} f(x)\,dx \;\leq\; \sum_{k=1}^{N} f(k) \;\leq\; f(1) + \int_{1}^{N} f(x)\,dx\] En particulier, la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} f(n)\) et l’intégrale \(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} f(x)\,dx\) sont de même nature.
Exercice 3
- Étudier la convergence de \(\displaystyle\sum_{n \geq 2} \dfrac{1}{n\ln n}\) et \(\displaystyle\sum_{n \geq 2} \dfrac{1}{n(\ln n)^2}\).
- Montrer que \(\displaystyle\ln(N+1) \;\leq\; \sum_{k=1}^{N} \dfrac{1}{k} \;\leq\; 1 + \ln N\), puis déduire que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{1}{k} \underset{N\to+\infty}{\sim} \ln N\).
2. Séries de Riemann
Définition 4 — Série de Riemann
Une série de Riemann est de la forme \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^{\alpha}}\), \(\alpha \in \mathbb{R}\).
Une série de Riemann est de la forme \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^{\alpha}}\), \(\alpha \in \mathbb{R}\).
Proposition 3 — Convergence des séries de Riemann
\(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^{\alpha}}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\). (Démonstration : appliquer le Théorème 1 à \(f(x)=x^{-\alpha}\), dont l’intégrale converge ssi \(\alpha>1\).)
Divergence pour \(\alpha \leq 1\) (série harmonique si \(\alpha=1\)) ; convergence pour \(\alpha > 1\) (ex. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\)).
\(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^{\alpha}}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\). (Démonstration : appliquer le Théorème 1 à \(f(x)=x^{-\alpha}\), dont l’intégrale converge ssi \(\alpha>1\).)
Divergence pour \(\alpha \leq 1\) (série harmonique si \(\alpha=1\)) ; convergence pour \(\alpha > 1\) (ex. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\)).
Exercice 4
- Déterminer les valeurs de \(\alpha \in \mathbb{R}\) pour lesquelles \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{n^{\alpha}}{n^4+1}\) converge.
- Montrer que \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}\) converge et calculer sa somme par décomposition en éléments simples.
- Étudier la nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 2} \dfrac{1}{n^{\alpha}\ln n}\) selon les valeurs de \(\alpha \in \mathbb{R}\).
3. Majoration des sommes partielles
Si \(u_n \geqslant 0\), alors \(S_{n+1} = S_n + u_{n+1} \geqslant S_n\) : \((S_n)\) est croissante.
Proposition 4 — Critère de majoration
Si \((S_n)\) est majorée, alors \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) converge.
Si \((S_n)\) est majorée, alors \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) converge.
4. Critère de comparaison
Théorème 2 — Critère de comparaison
Soient \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) et \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} v_n\) à termes positifs, avec \(0 \leqslant u_n \leqslant v_n\) à partir d’un certain rang.
Si \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} v_n\) converge alors \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) converge, et \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n \leqslant \displaystyle\sum_{n \geq 0} v_n\).
Si \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) diverge alors \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} v_n\) diverge.
Soient \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) et \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} v_n\) à termes positifs, avec \(0 \leqslant u_n \leqslant v_n\) à partir d’un certain rang.
Si \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} v_n\) converge alors \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) converge, et \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n \leqslant \displaystyle\sum_{n \geq 0} v_n\).
Si \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) diverge alors \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} v_n\) diverge.
Exercice 5
En comparant à une série de Riemann, étudier la convergence de : \[\sum_{n \geq 1} \frac{|\cos n|^n}{n^2}, \qquad \sum_{n \geq 0} \sin\!\left(\frac{\pi}{2^{n}}\right), \qquad \sum_{n \geq 1} \frac{\arctan n}{n^3}.\] Rappel : \(\sin x \leq x\) pour \(x \geq 0\).
En comparant à une série de Riemann, étudier la convergence de : \[\sum_{n \geq 1} \frac{|\cos n|^n}{n^2}, \qquad \sum_{n \geq 0} \sin\!\left(\frac{\pi}{2^{n}}\right), \qquad \sum_{n \geq 1} \frac{\arctan n}{n^3}.\] Rappel : \(\sin x \leq x\) pour \(x \geq 0\).
5. Suites équivalentes
Définition 5 — Équivalence de suites
\((u_n) \sim (v_n)\) si \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=1\) (avec \(v_n \neq 0\) au-delà d’un certain rang).
\((u_n) \sim (v_n)\) si \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=1\) (avec \(v_n \neq 0\) au-delà d’un certain rang).
Théorème 3 — Critère d’équivalence
Si \((u_n)\) et \((v_n)\) sont positives et équivalentes, \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) et \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} v_n\) sont de même nature.
Si \((u_n)\) et \((v_n)\) sont positives et équivalentes, \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) et \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} v_n\) sont de même nature.
Exemples. \(\frac{1}{n(n+1)} \sim \frac{1}{n^2}\) : \(\displaystyle\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n(n+1)}\) converge. \(\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}\) : \(\displaystyle\sum_{n\geq 1}\sin\frac{1}{n}\) diverge.
Proposition 5 — Critère de comparaison par négligeabilité
Soient \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) et \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} v_n\) à termes positifs avec \(u_n = o(v_n)\) (i.e. \(u_n / v_n \to 0\)). Alors :
Soient \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) et \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} v_n\) à termes positifs avec \(u_n = o(v_n)\) (i.e. \(u_n / v_n \to 0\)). Alors :
- Si \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} v_n\) converge, alors \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) converge.
- Si \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) diverge, alors \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} v_n\) diverge.
Exercice 6
Déterminer la nature de : \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2+1}\), \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{n}{\sqrt{n^3+1}}\), \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n}\sin\frac{\pi}{n}\).
Déterminer la nature de : \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2+1}\), \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{n}{\sqrt{n^3+1}}\), \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n}\sin\frac{\pi}{n}\).
6. Règle de D’Alembert
Proposition 6 — Règle de D’Alembert
Soit \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) à termes \(> 0\) avec \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\ell\). Alors :
Soit \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) à termes \(> 0\) avec \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\ell\). Alors :
- \(\ell < 1\) : la série converge.
- \(\ell > 1\) : la série diverge.
- \(\ell = 1\) : règle non concluante.
Exercice 7
Les séries suivantes convergent-elles ? \[\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n \cdot 2^{n}}, \qquad \sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!}\;(x \in \mathbb{R},\,x>0), \qquad \sum_{n \geq 0} \frac{2^n}{n!}.\]
Les séries suivantes convergent-elles ? \[\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n \cdot 2^{n}}, \qquad \sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!}\;(x \in \mathbb{R},\,x>0), \qquad \sum_{n \geq 0} \frac{2^n}{n!}.\]
IV — Critère des séries alternées
Définition 6 — Série alternée
\(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) est alternée si \(u_{n+1}\) et \(u_n\) sont de signes contraires à partir d’un certain rang. En pratique : \(\displaystyle\sum_{n \geq 0}(-1)^n a_n\), \(a_n>0\).
\(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) est alternée si \(u_{n+1}\) et \(u_n\) sont de signes contraires à partir d’un certain rang. En pratique : \(\displaystyle\sum_{n \geq 0}(-1)^n a_n\), \(a_n>0\).
Exemples. \(\displaystyle\sum_{n \geq 0}(-1)^n\), \(\displaystyle\sum_{n \geq 1}(-1)^n\frac{n+1}{1+n^2}\), \(\displaystyle\sum_{n \geq 1}(-1)^{n+1}\left|\sin\frac{\pi}{n}\right|\).
Proposition 7 — Critère de Leibniz
Soit \(\displaystyle\sum_{n \geq 0}(-1)^n a_n\) avec \(a_n>0\), \((a_n)\) décroissante et \(a_n\to 0\). Alors la série converge, et \(|R_n| \leq a_{n+1}\).
Soit \(\displaystyle\sum_{n \geq 0}(-1)^n a_n\) avec \(a_n>0\), \((a_n)\) décroissante et \(a_n\to 0\). Alors la série converge, et \(|R_n| \leq a_{n+1}\).
Exercice 8
Les séries \(\displaystyle\sum_{n \geq 1}(-1)^n\dfrac{n^2}{1+n}\) et \(\displaystyle\sum_{n \geq 1}\dfrac{(-1)^n}{n}\) convergent-elles ? Pour la seconde, donner \(N\) tel que \(|R_N| \leq 10^{-3}\).
Les séries \(\displaystyle\sum_{n \geq 1}(-1)^n\dfrac{n^2}{1+n}\) et \(\displaystyle\sum_{n \geq 1}\dfrac{(-1)^n}{n}\) convergent-elles ? Pour la seconde, donner \(N\) tel que \(|R_N| \leq 10^{-3}\).
V — Séries absolument convergentes
Définition 7 — Convergence absolue
\(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) est absolument convergente si \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} |u_n|\) converge.
\(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) est absolument convergente si \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} |u_n|\) converge.
Remarque. \(\displaystyle\sum|u_n|\) étant à termes positifs, on lui applique les critères précédents.
Théorème 4 — Convergence absolue implique convergence
Toute série absolument convergente est convergente. La réciproque est fausse : on parle alors de semi-convergence (ex. \(\displaystyle\sum_{n \geq 1}\frac{(-1)^n}{n}\) converge, mais \(\displaystyle\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n}\) diverge).
Toute série absolument convergente est convergente. La réciproque est fausse : on parle alors de semi-convergence (ex. \(\displaystyle\sum_{n \geq 1}\frac{(-1)^n}{n}\) converge, mais \(\displaystyle\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n}\) diverge).
Exercice 9
Soit \(x \in \mathbb{R}\) avec \(|x| < 1\) et \(u_n = nx^n\). Montrer que les séries suivantes sont absolument convergentes : \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} n\,x^n\),\(\quad\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{n}{2^n}\),\(\quad\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{n}{3^n}\).
Soit \(x \in \mathbb{R}\) avec \(|x| < 1\) et \(u_n = nx^n\). Montrer que les séries suivantes sont absolument convergentes : \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} n\,x^n\),\(\quad\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{n}{2^n}\),\(\quad\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{n}{3^n}\).
Séries à termes positifs
Exercice 1
Justifier la convergence et déterminer la somme des séries suivantes :
Justifier la convergence et déterminer la somme des séries suivantes :
- \(\displaystyle\sum_{n \geq 2}\frac{1}{n^2-1}\)
- \(\displaystyle\sum_{n \geq 1}\ln\!\left(1+\frac{2}{n(n+3)}\right)\)
- \(\displaystyle\sum_{n \geq 0}\arctan\!\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)\)
Exercice 2
Déterminer la nature des séries suivantes (éventuellement suivant les valeurs de \(a \in \mathbb{R}\)) :
Déterminer la nature des séries suivantes (éventuellement suivant les valeurs de \(a \in \mathbb{R}\)) :
- \(\displaystyle\sum_{n \geq 1}\frac{n}{n^2+1}\)
- \(\displaystyle\sum_{n \geq 1}\left(n-\sin\frac{1}{n}\right)\)
- \(\displaystyle\sum_{n \geq 1}\frac{\operatorname{ch}(n)}{\operatorname{ch}(2n)}\)
Exercice 3
Étudier la nature des séries de terme général : \[u_n = \frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(2k)}{n^n}\;; \qquad u_n = \frac{\ln n}{n!}\;; \qquad u_n = \frac{2^n(\sin\alpha)^{2n}}{n^2}\;\text{où}\;\alpha\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].\]
Étudier la nature des séries de terme général : \[u_n = \frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(2k)}{n^n}\;; \qquad u_n = \frac{\ln n}{n!}\;; \qquad u_n = \frac{2^n(\sin\alpha)^{2n}}{n^2}\;\text{où}\;\alpha\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].\]
Exercice 4
Soient \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\), \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} v_n\) deux séries convergentes à termes positifs. Étudier les séries de termes généraux :
Soient \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\), \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} v_n\) deux séries convergentes à termes positifs. Étudier les séries de termes généraux :
- \(\max(u_n,\,v_n)\)
- \(u_n^2\)
- \(\dfrac{\sqrt{u_n}}{n}\)
- \(\sqrt{u_n\,u_{2n}}\)
Exercice 5
- Soit \(x \in [-1,1]\), simplifier \(\sin(\arccos x)\). En déduire un équivalent de \(\arccos\) en 1.
- Déterminer la nature de la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 1}\arccos\!\left(\frac{n^3+1}{n^3+2}\right)\).
Exercice 6
Soit \((u_n)\) une suite décroissante à termes positifs telle que \(\displaystyle\sum_{n \geq 0}u_n\) converge. Montrer que \((n\,u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) converge vers 0.
Soit \((u_n)\) une suite décroissante à termes positifs telle que \(\displaystyle\sum_{n \geq 0}u_n\) converge. Montrer que \((n\,u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) converge vers 0.
Exercice 7 — Série de Bertrand
Soient \(\alpha,\,\beta \in \mathbb{R}\). Montrer que la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 2}\frac{1}{n^{\alpha}(\ln n)^{\beta}}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\) ou (\(\alpha = 1\) et \(\beta > 1\)).
Soient \(\alpha,\,\beta \in \mathbb{R}\). Montrer que la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 2}\frac{1}{n^{\alpha}(\ln n)^{\beta}}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\) ou (\(\alpha = 1\) et \(\beta > 1\)).
Exercice 8 — Règle de Raabe-Duhamel
Soit \(a \in \mathbb{R}\), soit \((u_n)\) une suite à termes strictement positifs telle que, au voisinage de \(+\infty\) : \[\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{1}{1+\dfrac{a}{n}+O\!\left(\dfrac{1}{n^2}\right)}.\]
Soit \(a \in \mathbb{R}\), soit \((u_n)\) une suite à termes strictement positifs telle que, au voisinage de \(+\infty\) : \[\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{1}{1+\dfrac{a}{n}+O\!\left(\dfrac{1}{n^2}\right)}.\]
- Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), on pose \(v_n = \ln(n^a\,u_n)\) et \(w_n = v_{n+1}-v_n\). Montrer que \(w_n = O\!\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\).
- En déduire qu’il existe \(\lambda > 0\) tel que \(u_n \sim \dfrac{\lambda}{n^a}\).
- Pour quelles valeurs de \(a\) la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) converge ?
- Soient \(a,\,b \in \mathbb{R}_+\), soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n+a}{n+b}\). Déterminer la nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\).
Exercice 9
On considère la série harmonique \(\displaystyle H_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\).
On considère la série harmonique \(\displaystyle H_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\).
- En minorant \(H_{2n}-H_n\), montrer que la série harmonique diverge.
- Montrer la convergence de la suite \(u_n = H_n – \ln(n)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\). En déduire qu’il existe \(\gamma \in \mathbb{R}\) tel que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} = \ln n + \gamma + o(1)\).
- Déterminer la nature des séries \(\displaystyle\sum_{n \geq 1}\frac{H_n}{1+2+\cdots+n}\) et \(\displaystyle\sum_{n \geq 1}\frac{H_n}{n}\).
Séries à termes de signes quelconques
Exercice 10
- (i) Soit \(x \in \mathbb{R}\), \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que \(\displaystyle\left|\arctan x – \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k\,x^{2k+1}}{2k+1}\right| \leq \frac{|x|^{2n+3}}{2n+3}\).
(ii) En déduire une CNS de convergence de la série \(\displaystyle\sum_{k \geq 0}\frac{(-1)^k\,x^{2k+1}}{2k+1}\) et calculer sa somme. - Montrer que \(\displaystyle\left|\pi – 4\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\right| \leq \frac{4}{2n+3}\).
Exercice 11
Étudier la nature de la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) dans les cas suivants :
Étudier la nature de la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\) dans les cas suivants :
- \(u_n = \cos(n)\!\left(1-\cos\dfrac{1}{n}\right)\)
- \(u_n = \dfrac{\sin n}{n^2}\)
- \(u_n = \dfrac{(1+n)\sin n}{n^2\sqrt{n}}\)
- \(u_1 \in \mathbb{R}\) et \(\forall n \in \mathbb{N}^*,\; u_{n+1} = \dfrac{\sin(u_n)}{n}\)
Exercice 12
Étudier la nature des séries de termes généraux suivants :
Étudier la nature des séries de termes généraux suivants :
- \(u_n = \dfrac{1+(-1)^n\sqrt{n}}{n}\)
- \(u_n = \sin\!\left(\dfrac{\pi\,(n^3+1)}{n^2+1}\right)\)
- \(u_n = \displaystyle\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin(x)}{x\ln(x)}\,dx\)
Exercice 13
Étudier la nature des séries de termes généraux suivants :
Étudier la nature des séries de termes généraux suivants :
- \(u_n = \sqrt{1+\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}-1\)
- \(u_n = \dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha}+(-1)^n}\)
- \(u_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n^{\alpha}+(-1)^n}}\)
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