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Topologie
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Chapitre 1
Espaces métriques
Distances, boules, ouverts métriques, topologie engendrée, distances équivalentes et distances produit.
→
Chapitre 2
Espaces topologiques
Topologies, bases, voisinages, intérieur, adhérence, frontière, densité, sous-espaces et topologie produit.
→
Chapitre 3
Limite et continuité
Limites, continuité, homéomorphismes, applications ouvertes et fermées, topologie produit, continuité uniforme et applications lipschitziennes.
→
Chapitre 4
Compacité
Recouvrements, espaces compacts, Borel-Lebesgue, Bolzano-Weierstrass, Tychonoff, complétude et point fixe de Banach.
→
Chapitre 5
Connexité
Espaces connexes, connexes de R, TVI, composantes connexes, connexité par arcs et applications dans R^n.
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Chapitre 6
Espaces complets
Suites de Cauchy, complétude, Baire, complétion, prolongement uniforme, espaces de Banach et de Hilbert.
→
Sommaire
§ 1
Espaces métriques
Définition 1 — Distance et espace métrique
Soit \(E\) un ensemble non vide. Une distance sur \(E\) est une application \(d : E \times E \to \mathbb{R}^{+}\) satisfaisant :
1. \(\forall\, x, y \in E,\quad d(x,y) = 0 \iff x = y\) (séparation) ;
2. \(\forall\, x, y \in E,\quad d(x,y) = d(y,x)\) (symétrie) ;
3. \(\forall\, x, y, z \in E,\quad d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)\) (inégalité triangulaire).
Le couple \((E, d)\) est alors appelé espace métrique.
Soit \(E\) un ensemble non vide. Une distance sur \(E\) est une application \(d : E \times E \to \mathbb{R}^{+}\) satisfaisant :
1. \(\forall\, x, y \in E,\quad d(x,y) = 0 \iff x = y\) (séparation) ;
2. \(\forall\, x, y \in E,\quad d(x,y) = d(y,x)\) (symétrie) ;
3. \(\forall\, x, y, z \in E,\quad d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)\) (inégalité triangulaire).
Le couple \((E, d)\) est alors appelé espace métrique.
Par récurrence, l’inégalité triangulaire se généralise : pour \(x_1, \ldots, x_n \in E\), \[ d(x_1, x_n) \leq \sum_{k=1}^{n-1} d(x_k, x_{k+1}). \] Elle entraîne aussi la seconde inégalité triangulaire : \(\bigl|d(x,y) – d(y,z)\bigr| \leq d(x,z)\).
1.1 — Boules et sphères
Soit \((E,d)\) un espace métrique, \(a \in E\) et \(r > 0\) :
- Boule ouverte : \(B(a,r) = \{x \in E \mid d(x,a) < r\}\).
- Boule fermée : \(\overline{B}(a,r) = \{x \in E \mid d(x,a) \leq r\}\).
- Sphère : \(S(a,r) = \{x \in E \mid d(x,a) = r\}\).
1.2 — Diamètre d’une partie, applications bornées
Le diamètre de \(A \subset E\) est \(\mathrm{diam}(A) = \displaystyle\sup_{(x,y)\in A^2} d(x,y)\). Lorsque cette quantité est finie, on dit que \(A\) est bornée. Une application \(f : X \to (E,d)\) est bornée si la partie \(f(X)\) est bornée.
1.3 — Distance d’un point à une partie
Pour \(b \in E\) et \(A \subset E\) non vide, on définit : \(d(b, A) = \displaystyle\inf_{a \in A} d(b, a)\).
1.4 — Distance induite
Si \(A\) est une partie non vide de \((E,d)\), la restriction de \(d\) à \(A \times A\) est une distance sur \(A\), appelée distance induite. Le couple \((A, d_{|A\times A})\) forme un sous-espace métrique de \((E,d)\).
1.5 — Exemples de distances
Exemples 1 — Distances classiques
1. La valeur absolue \((x,y) \mapsto |x-y|\) est la distance usuelle sur \(\mathbb{R}\). La boule ouverte \(B(a,r)\) est l’intervalle \(]a-r,\,a+r[\), de diamètre \(2r\), et \(S(a,r) = \{a-r,\, a+r\}\).
2. La distance usuelle s’étend à \(\mathbb{Q}\), à \(\mathbb{Z}\) et à toute partie non vide de \(\mathbb{R}\). Sur \(\mathbb{Z}\), on a \(B(m,r) = \{n \in \mathbb{Z} \mid |n-m| < r\}\).
3. L’application \((x,y) \mapsto |\arctan x – \arctan y|\) est une distance sur \(\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}\), pour laquelle \(\overline{\mathbb{R}}\) est borné de diamètre \(\pi\).
4. Sur \(\mathbb{C}\), le module \((z_1,z_2) \mapsto |z_1-z_2|\) définit la distance usuelle : ses boules sont des disques et ses sphères des cercles.
5. Dans \(\mathbb{R}^3\), trois distances classiques : \[ D_1(x,y) = |x_1-y_1|+|x_2-y_2|+|x_3-y_3| \] \[ D_2(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2} \] \[ D_\infty(x,y) = \max\bigl(|x_1-y_1|,\,|x_2-y_2|,\,|x_3-y_3|\bigr) \] \(D_2\) (euclidienne) engendre de véritables boules ; \(D_1\) et \(D_\infty\) produisent des cubes. Ces trois distances sont topologiquement équivalentes.
6. Distance discrète. Pour tout ensemble \(E\) : \(d(x,y)=0\) si \(x=y\), \(d(x,y)=1\) si \(x \neq y\). Les boules de rayon \(r \leq 1\) sont des singletons ; celles de rayon \(r > 1\) valent \(E\).
7. Espaces normés. Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Une norme \(N\) vérifie : (i) \(N(x)=0 \Leftrightarrow x=0\) ; (ii) \(N(\lambda x)=|\lambda|N(x)\) ; (iii) \(N(x+y) \leq N(x)+N(y)\). Alors \((x,y)\mapsto N(x-y)\) est une distance.
1. La valeur absolue \((x,y) \mapsto |x-y|\) est la distance usuelle sur \(\mathbb{R}\). La boule ouverte \(B(a,r)\) est l’intervalle \(]a-r,\,a+r[\), de diamètre \(2r\), et \(S(a,r) = \{a-r,\, a+r\}\).
2. La distance usuelle s’étend à \(\mathbb{Q}\), à \(\mathbb{Z}\) et à toute partie non vide de \(\mathbb{R}\). Sur \(\mathbb{Z}\), on a \(B(m,r) = \{n \in \mathbb{Z} \mid |n-m| < r\}\).
3. L’application \((x,y) \mapsto |\arctan x – \arctan y|\) est une distance sur \(\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}\), pour laquelle \(\overline{\mathbb{R}}\) est borné de diamètre \(\pi\).
4. Sur \(\mathbb{C}\), le module \((z_1,z_2) \mapsto |z_1-z_2|\) définit la distance usuelle : ses boules sont des disques et ses sphères des cercles.
5. Dans \(\mathbb{R}^3\), trois distances classiques : \[ D_1(x,y) = |x_1-y_1|+|x_2-y_2|+|x_3-y_3| \] \[ D_2(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2} \] \[ D_\infty(x,y) = \max\bigl(|x_1-y_1|,\,|x_2-y_2|,\,|x_3-y_3|\bigr) \] \(D_2\) (euclidienne) engendre de véritables boules ; \(D_1\) et \(D_\infty\) produisent des cubes. Ces trois distances sont topologiquement équivalentes.
6. Distance discrète. Pour tout ensemble \(E\) : \(d(x,y)=0\) si \(x=y\), \(d(x,y)=1\) si \(x \neq y\). Les boules de rayon \(r \leq 1\) sont des singletons ; celles de rayon \(r > 1\) valent \(E\).
7. Espaces normés. Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Une norme \(N\) vérifie : (i) \(N(x)=0 \Leftrightarrow x=0\) ; (ii) \(N(\lambda x)=|\lambda|N(x)\) ; (iii) \(N(x+y) \leq N(x)+N(y)\). Alors \((x,y)\mapsto N(x-y)\) est une distance.
1.6 — Ouverts d’un espace métrique
Définition 2 — Ouvert
Un sous-ensemble \(O\) de \((E,d)\) est dit ouvert si : \[ O = \varnothing \quad\text{ou}\quad \forall\, x \in O,\;\exists\, r > 0,\;\;B(x,r) \subset O. \]
Un sous-ensemble \(O\) de \((E,d)\) est dit ouvert si : \[ O = \varnothing \quad\text{ou}\quad \forall\, x \in O,\;\exists\, r > 0,\;\;B(x,r) \subset O. \]
Proposition 1 — Les boules ouvertes engendrent les ouverts
Dans un espace métrique :
1. Toute boule ouverte est un ouvert.
2. Les ouverts sont l’ensemble vide et les réunions de boules ouvertes.
Dans un espace métrique :
1. Toute boule ouverte est un ouvert.
2. Les ouverts sont l’ensemble vide et les réunions de boules ouvertes.
Démonstration.
1. Soit \(y \in B(x,r)\). Posons \(\rho = r – d(x,y) > 0\). Pour tout \(z \in B(y,\rho)\), l’inégalité triangulaire donne \(d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z) < d(x,y)+\rho = r\), d’où \(B(y,\rho) \subset B(x,r)\).
2. Si \(O\) est un ouvert non vide, pour chaque \(x \in O\) il existe \(r_x > 0\) tel que \(B(x,r_x) \subset O\), d’où \(O = \bigcup_{x \in O} B(x,r_x)\). Réciproquement, toute réunion de boules ouvertes est un ouvert. ◼
1. Soit \(y \in B(x,r)\). Posons \(\rho = r – d(x,y) > 0\). Pour tout \(z \in B(y,\rho)\), l’inégalité triangulaire donne \(d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z) < d(x,y)+\rho = r\), d’où \(B(y,\rho) \subset B(x,r)\).
2. Si \(O\) est un ouvert non vide, pour chaque \(x \in O\) il existe \(r_x > 0\) tel que \(B(x,r_x) \subset O\), d’où \(O = \bigcup_{x \in O} B(x,r_x)\). Réciproquement, toute réunion de boules ouvertes est un ouvert. ◼
Proposition 2 — Propriétés fondamentales des ouverts
Soit \((E,d)\) un espace métrique.
1. \(\varnothing\) et \(E\) sont des ouverts.
2. Toute réunion quelconque d’ouverts est un ouvert.
3. Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.
Soit \((E,d)\) un espace métrique.
1. \(\varnothing\) et \(E\) sont des ouverts.
2. Toute réunion quelconque d’ouverts est un ouvert.
3. Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.
Démonstration.
Les points 1 et 2 sont immédiats. Pour 3, soient \(O_1, \ldots, O_n\) des ouverts et \(x \in \bigcap_{k=1}^n O_k\). Pour chaque \(k\), il existe \(\rho_k > 0\) avec \(B(x,\rho_k) \subset O_k\). En posant \(\rho = \min_{1 \leq k \leq n} \rho_k\), on obtient \(B(x,\rho) \subset \bigcap_{k=1}^n O_k\). ◼
Les points 1 et 2 sont immédiats. Pour 3, soient \(O_1, \ldots, O_n\) des ouverts et \(x \in \bigcap_{k=1}^n O_k\). Pour chaque \(k\), il existe \(\rho_k > 0\) avec \(B(x,\rho_k) \subset O_k\). En posant \(\rho = \min_{1 \leq k \leq n} \rho_k\), on obtient \(B(x,\rho) \subset \bigcap_{k=1}^n O_k\). ◼
1.7 — Topologie engendrée par une distance
Définition 3 — Topologie associée à une distance
Soit \(d\) une distance sur \(E\). On appelle topologie associée à \(d\), notée \(\mathcal{T}_d\), la famille de tous les ouverts de \((E,d)\) : \[ \mathcal{T}_d = \{O \subset E \mid O \text{ ouvert}\}. \] D’après la Proposition 2, \(\mathcal{T}_d\) vérifie :
\((\mathcal{T}_1)\) : \(\varnothing \in \mathcal{T}_d\) et \(E \in \mathcal{T}_d\) ;
\((\mathcal{T}_2)\) : toute réunion quelconque d’éléments de \(\mathcal{T}_d\) est dans \(\mathcal{T}_d\) ;
\((\mathcal{T}_3)\) : toute intersection finie d’éléments de \(\mathcal{T}_d\) est dans \(\mathcal{T}_d\).
Soit \(d\) une distance sur \(E\). On appelle topologie associée à \(d\), notée \(\mathcal{T}_d\), la famille de tous les ouverts de \((E,d)\) : \[ \mathcal{T}_d = \{O \subset E \mid O \text{ ouvert}\}. \] D’après la Proposition 2, \(\mathcal{T}_d\) vérifie :
\((\mathcal{T}_1)\) : \(\varnothing \in \mathcal{T}_d\) et \(E \in \mathcal{T}_d\) ;
\((\mathcal{T}_2)\) : toute réunion quelconque d’éléments de \(\mathcal{T}_d\) est dans \(\mathcal{T}_d\) ;
\((\mathcal{T}_3)\) : toute intersection finie d’éléments de \(\mathcal{T}_d\) est dans \(\mathcal{T}_d\).
Exemples 2 — Topologies particulières
1. La topologie associée à la distance discrète est \(\mathcal{P}(E)\) : chaque partie est ouverte, car pour \(x \in A\), \(B(x,1) = \{x\} \subset A\).
2. Sur \(\mathbb{Z}\), la distance usuelle engendre aussi \(\mathcal{P}(\mathbb{Z})\) : en effet \(B(m,1) = \{m\}\) pour tout \(m \in \mathbb{Z}\). Ainsi, bien que distance usuelle et distance discrète soient différentes sur \(\mathbb{Z}\), elles définissent la même topologie.
1. La topologie associée à la distance discrète est \(\mathcal{P}(E)\) : chaque partie est ouverte, car pour \(x \in A\), \(B(x,1) = \{x\} \subset A\).
2. Sur \(\mathbb{Z}\), la distance usuelle engendre aussi \(\mathcal{P}(\mathbb{Z})\) : en effet \(B(m,1) = \{m\}\) pour tout \(m \in \mathbb{Z}\). Ainsi, bien que distance usuelle et distance discrète soient différentes sur \(\mathbb{Z}\), elles définissent la même topologie.
1.8 — Distances équivalentes
Définition 4 — Équivalence de distances
Deux distances \(d\) et \(\delta\) sur \(E\) sont :
• topologiquement équivalentes si \(\mathcal{T}_d = \mathcal{T}_\delta\) ;
• équivalentes s’il existe \(\alpha, \beta > 0\) tels que \(\alpha\,d(x,y) \leq \delta(x,y) \leq \beta\,d(x,y)\) pour tout \((x,y) \in E^2\).
Deux distances équivalentes sont topologiquement équivalentes, mais la réciproque est fausse en général.
Deux distances \(d\) et \(\delta\) sur \(E\) sont :
• topologiquement équivalentes si \(\mathcal{T}_d = \mathcal{T}_\delta\) ;
• équivalentes s’il existe \(\alpha, \beta > 0\) tels que \(\alpha\,d(x,y) \leq \delta(x,y) \leq \beta\,d(x,y)\) pour tout \((x,y) \in E^2\).
Deux distances équivalentes sont topologiquement équivalentes, mais la réciproque est fausse en général.
Remarque 1. Pour toute distance \(d\) sur \(E\), l’application \((x,y) \mapsto \dfrac{d(x,y)}{1+d(x,y)}\) définit une distance bornée, topologiquement équivalente à \(d\) et majorée par \(1\).
1.9 — Distances produit
Proposition 3 — Distances sur un espace produit
Soient \((E_1,d_1), \ldots, (E_n,d_n)\) des espaces métriques. Sur \(E = E_1 \times \cdots \times E_n\), les trois applications : \[ D_1(x,y) = \sum_{k=1}^{n} d_k(x_k,y_k),\quad D_2(x,y) = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} d_k(x_k,y_k)^2},\quad D_\infty(x,y) = \max_{1 \leq k \leq n} d_k(x_k,y_k) \] sont des distances équivalentes. On a précisément : \[ D_\infty \leq D_1 \leq \sqrt{n}\,D_2 \leq n\,D_\infty. \] Leurs topologies étant identiques, on parle indifféremment de distance produit pour désigner l’une quelconque de ces métriques.
Soient \((E_1,d_1), \ldots, (E_n,d_n)\) des espaces métriques. Sur \(E = E_1 \times \cdots \times E_n\), les trois applications : \[ D_1(x,y) = \sum_{k=1}^{n} d_k(x_k,y_k),\quad D_2(x,y) = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} d_k(x_k,y_k)^2},\quad D_\infty(x,y) = \max_{1 \leq k \leq n} d_k(x_k,y_k) \] sont des distances équivalentes. On a précisément : \[ D_\infty \leq D_1 \leq \sqrt{n}\,D_2 \leq n\,D_\infty. \] Leurs topologies étant identiques, on parle indifféremment de distance produit pour désigner l’une quelconque de ces métriques.
Sommaire — Chapitre 2
CHAPITRE 2
Espaces topologiques
2.1 — Définition d’une topologie
Définition 5 — Topologie
Soit \(E\) un ensemble. Une topologie sur \(E\) est une partie \(\mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(E)\) vérifiant :
(T1) \(\varnothing \in \mathcal{T}\) et \(E \in \mathcal{T}\) ;
(T2) toute réunion (quelconque) d’éléments de \(\mathcal{T}\) appartient à \(\mathcal{T}\) ;
(T3) toute intersection finie d’éléments de \(\mathcal{T}\) appartient à \(\mathcal{T}\).
Le couple \((E,\mathcal{T})\) est appelé espace topologique. Les éléments de \(\mathcal{T}\) sont les ouverts de \(E\).
Soit \(E\) un ensemble. Une topologie sur \(E\) est une partie \(\mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(E)\) vérifiant :
(T1) \(\varnothing \in \mathcal{T}\) et \(E \in \mathcal{T}\) ;
(T2) toute réunion (quelconque) d’éléments de \(\mathcal{T}\) appartient à \(\mathcal{T}\) ;
(T3) toute intersection finie d’éléments de \(\mathcal{T}\) appartient à \(\mathcal{T}\).
Le couple \((E,\mathcal{T})\) est appelé espace topologique. Les éléments de \(\mathcal{T}\) sont les ouverts de \(E\).
Définition 6 — Fermé
Un sous-ensemble \(F\) de \(E\) est dit fermé si son complémentaire \(E \setminus F\) est un ouvert, c’est-à-dire \(E \setminus F \in \mathcal{T}\).
Un sous-ensemble \(F\) de \(E\) est dit fermé si son complémentaire \(E \setminus F\) est un ouvert, c’est-à-dire \(E \setminus F \in \mathcal{T}\).
Proposition 4 — Propriétés des fermés
Soit \((E,\mathcal{T})\) un espace topologique. L’ensemble \(\mathcal{F}\) des fermés de \(E\) vérifie :
(F1) \(\varnothing \in \mathcal{F}\) et \(E \in \mathcal{F}\) ;
(F2) toute intersection (quelconque) d’éléments de \(\mathcal{F}\) appartient à \(\mathcal{F}\) ;
(F3) toute réunion finie d’éléments de \(\mathcal{F}\) appartient à \(\mathcal{F}\).
Soit \((E,\mathcal{T})\) un espace topologique. L’ensemble \(\mathcal{F}\) des fermés de \(E\) vérifie :
(F1) \(\varnothing \in \mathcal{F}\) et \(E \in \mathcal{F}\) ;
(F2) toute intersection (quelconque) d’éléments de \(\mathcal{F}\) appartient à \(\mathcal{F}\) ;
(F3) toute réunion finie d’éléments de \(\mathcal{F}\) appartient à \(\mathcal{F}\).
Remarque 2. Exemples classiques de topologies :
• La topologie discrète : \(\mathcal{T} = \mathcal{P}(E)\). Tout sous-ensemble est ouvert.
• La topologie grossière (ou triviale) : \(\mathcal{T} = \{\varnothing, E\}\). Seuls \(\varnothing\) et \(E\) sont ouverts.
• La topologie cofinie sur un ensemble infini : les ouverts sont \(\varnothing\) et les parties dont le complémentaire est fini.
• Pour tout espace métrique \((E,d)\), la famille des ouverts au sens métrique forme une topologie sur \(E\).
• La topologie discrète : \(\mathcal{T} = \mathcal{P}(E)\). Tout sous-ensemble est ouvert.
• La topologie grossière (ou triviale) : \(\mathcal{T} = \{\varnothing, E\}\). Seuls \(\varnothing\) et \(E\) sont ouverts.
• La topologie cofinie sur un ensemble infini : les ouverts sont \(\varnothing\) et les parties dont le complémentaire est fini.
• Pour tout espace métrique \((E,d)\), la famille des ouverts au sens métrique forme une topologie sur \(E\).
2.2 — Bases d’une topologie
Définition 7 — Base d’une topologie
Soit \((E,\mathcal{T})\) un espace topologique. Une famille \(\mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}\) est une base de \(\mathcal{T}\) si tout ouvert de \(\mathcal{T}\) est réunion d’éléments de \(\mathcal{B}\).
Soit \((E,\mathcal{T})\) un espace topologique. Une famille \(\mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}\) est une base de \(\mathcal{T}\) si tout ouvert de \(\mathcal{T}\) est réunion d’éléments de \(\mathcal{B}\).
Proposition 5 — Critère de base
Une famille \(\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(E)\) est base d’une topologie sur \(E\) si et seulement si :
(B1) \(\displaystyle\bigcup_{B \in \mathcal{B}} B = E\) ;
(B2) pour tous \(B_1, B_2 \in \mathcal{B}\) et tout \(x \in B_1 \cap B_2\), il existe \(B_3 \in \mathcal{B}\) tel que \(x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2\).
Une famille \(\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(E)\) est base d’une topologie sur \(E\) si et seulement si :
(B1) \(\displaystyle\bigcup_{B \in \mathcal{B}} B = E\) ;
(B2) pour tous \(B_1, B_2 \in \mathcal{B}\) et tout \(x \in B_1 \cap B_2\), il existe \(B_3 \in \mathcal{B}\) tel que \(x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2\).
Remarque 3. Dans un espace métrique \((E,d)\), la famille des boules ouvertes \(\{B(x,r) : x \in E,\, r > 0\}\) est une base de la topologie associée à \(d\).
Définition 8 — Sous-base
Une famille \(\mathcal{S} \subseteq \mathcal{P}(E)\) est une sous-base d’une topologie \(\mathcal{T}\) si la famille des intersections finies d’éléments de \(\mathcal{S}\) forme une base de \(\mathcal{T}\).
Une famille \(\mathcal{S} \subseteq \mathcal{P}(E)\) est une sous-base d’une topologie \(\mathcal{T}\) si la famille des intersections finies d’éléments de \(\mathcal{S}\) forme une base de \(\mathcal{T}\).
2.3 — Topologie engendrée
Définition 9 — Topologie engendrée
Soit \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(E)\). La topologie engendrée par \(\mathcal{A}\) est la plus petite topologie (au sens de l’inclusion) contenant \(\mathcal{A}\) : \[ \mathcal{T}(\mathcal{A}) = \bigcap \{\mathcal{T} \text{ topologie sur } E : \mathcal{A} \subseteq \mathcal{T}\}. \]
Soit \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(E)\). La topologie engendrée par \(\mathcal{A}\) est la plus petite topologie (au sens de l’inclusion) contenant \(\mathcal{A}\) : \[ \mathcal{T}(\mathcal{A}) = \bigcap \{\mathcal{T} \text{ topologie sur } E : \mathcal{A} \subseteq \mathcal{T}\}. \]
Proposition 6 — Comparaison de topologies
Soient \(\mathcal{T}_1\) et \(\mathcal{T}_2\) deux topologies sur \(E\). On dit que \(\mathcal{T}_1\) est moins fine que \(\mathcal{T}_2\) (ou \(\mathcal{T}_2\) plus fine que \(\mathcal{T}_1\)) si \(\mathcal{T}_1 \subseteq \mathcal{T}_2\).
La topologie grossière est la moins fine, la topologie discrète la plus fine.
Soient \(\mathcal{T}_1\) et \(\mathcal{T}_2\) deux topologies sur \(E\). On dit que \(\mathcal{T}_1\) est moins fine que \(\mathcal{T}_2\) (ou \(\mathcal{T}_2\) plus fine que \(\mathcal{T}_1\)) si \(\mathcal{T}_1 \subseteq \mathcal{T}_2\).
La topologie grossière est la moins fine, la topologie discrète la plus fine.
2.4 — Voisinages
Définition 10 — Voisinage
Soit \((E,\mathcal{T})\) un espace topologique et \(x \in E\). Un sous-ensemble \(V \subseteq E\) est un voisinage de \(x\) s’il existe un ouvert \(O \in \mathcal{T}\) tel que \(x \in O \subseteq V\).
On note \(\mathcal{V}(x)\) l’ensemble des voisinages de \(x\).
Soit \((E,\mathcal{T})\) un espace topologique et \(x \in E\). Un sous-ensemble \(V \subseteq E\) est un voisinage de \(x\) s’il existe un ouvert \(O \in \mathcal{T}\) tel que \(x \in O \subseteq V\).
On note \(\mathcal{V}(x)\) l’ensemble des voisinages de \(x\).
Proposition 7 — Propriétés des voisinages
Pour tout \(x \in E\), la famille \(\mathcal{V}(x)\) vérifie :
(V1) \(\mathcal{V}(x) \neq \varnothing\) et tout \(V \in \mathcal{V}(x)\) contient \(x\) ;
(V2) si \(V \in \mathcal{V}(x)\) et \(V \subseteq W\), alors \(W \in \mathcal{V}(x)\) ;
(V3) si \(V_1, V_2 \in \mathcal{V}(x)\), alors \(V_1 \cap V_2 \in \mathcal{V}(x)\) ;
(V4) pour tout \(V \in \mathcal{V}(x)\), il existe \(W \in \mathcal{V}(x)\) tel que \(V \in \mathcal{V}(y)\) pour tout \(y \in W\).
Pour tout \(x \in E\), la famille \(\mathcal{V}(x)\) vérifie :
(V1) \(\mathcal{V}(x) \neq \varnothing\) et tout \(V \in \mathcal{V}(x)\) contient \(x\) ;
(V2) si \(V \in \mathcal{V}(x)\) et \(V \subseteq W\), alors \(W \in \mathcal{V}(x)\) ;
(V3) si \(V_1, V_2 \in \mathcal{V}(x)\), alors \(V_1 \cap V_2 \in \mathcal{V}(x)\) ;
(V4) pour tout \(V \in \mathcal{V}(x)\), il existe \(W \in \mathcal{V}(x)\) tel que \(V \in \mathcal{V}(y)\) pour tout \(y \in W\).
Remarque 4. Un sous-ensemble \(O\) est ouvert si et seulement si il est voisinage de chacun de ses points.
2.5 — Intérieur et adhérence
Définition 11 — Intérieur
Soit \(A \subseteq E\). L’intérieur de \(A\), noté \(\mathring{A}\), est le plus grand ouvert contenu dans \(A\) : \[ \mathring{A} = \bigcup_{\substack{O \in \mathcal{T} \\ O \subseteq A}} O. \] Un point \(x\) appartient à \(\mathring{A}\) si et seulement si \(A\) est un voisinage de \(x\).
Soit \(A \subseteq E\). L’intérieur de \(A\), noté \(\mathring{A}\), est le plus grand ouvert contenu dans \(A\) : \[ \mathring{A} = \bigcup_{\substack{O \in \mathcal{T} \\ O \subseteq A}} O. \] Un point \(x\) appartient à \(\mathring{A}\) si et seulement si \(A\) est un voisinage de \(x\).
Définition 12 — Adhérence
Soit \(A \subseteq E\). L’adhérence de \(A\), notée \(\overline{A}\), est le plus petit fermé contenant \(A\) : \[ \overline{A} = \bigcap_{\substack{F \text{ fermé} \\ A \subseteq F}} F. \]
Soit \(A \subseteq E\). L’adhérence de \(A\), notée \(\overline{A}\), est le plus petit fermé contenant \(A\) : \[ \overline{A} = \bigcap_{\substack{F \text{ fermé} \\ A \subseteq F}} F. \]
Proposition 8 — Caractérisations de l’adhérence
Soit \(A \subseteq E\) et \(x \in E\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) \(x \in \overline{A}\) ;
(ii) tout voisinage de \(x\) rencontre \(A\), i.e. \(\forall\, V \in \mathcal{V}(x),\; V \cap A \neq \varnothing\) ;
(iii) tout ouvert contenant \(x\) rencontre \(A\).
Soit \(A \subseteq E\) et \(x \in E\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) \(x \in \overline{A}\) ;
(ii) tout voisinage de \(x\) rencontre \(A\), i.e. \(\forall\, V \in \mathcal{V}(x),\; V \cap A \neq \varnothing\) ;
(iii) tout ouvert contenant \(x\) rencontre \(A\).
Proposition 9 — Propriétés de l’intérieur et de l’adhérence
Pour toutes parties \(A, B\) de \(E\) :
(1) \(\mathring{A} \subseteq A \subseteq \overline{A}\) ;
(2) \(A\) est ouvert \(\Leftrightarrow\) \(A = \mathring{A}\) ; \(A\) est fermé \(\Leftrightarrow\) \(A = \overline{A}\) ;
(3) \(\overline{E \setminus A} = E \setminus \mathring{A}\) et \(\mathring{(E \setminus A)} = E \setminus \overline{A}\) ;
(4) \(A \subseteq B \Rightarrow \mathring{A} \subseteq \mathring{B}\) et \(\overline{A} \subseteq \overline{B}\).
Pour toutes parties \(A, B\) de \(E\) :
(1) \(\mathring{A} \subseteq A \subseteq \overline{A}\) ;
(2) \(A\) est ouvert \(\Leftrightarrow\) \(A = \mathring{A}\) ; \(A\) est fermé \(\Leftrightarrow\) \(A = \overline{A}\) ;
(3) \(\overline{E \setminus A} = E \setminus \mathring{A}\) et \(\mathring{(E \setminus A)} = E \setminus \overline{A}\) ;
(4) \(A \subseteq B \Rightarrow \mathring{A} \subseteq \mathring{B}\) et \(\overline{A} \subseteq \overline{B}\).
2.6 — Frontière et densité
Définition 13 — Frontière
La frontière d’une partie \(A\) de \(E\) est : \[ \partial A = \overline{A} \setminus \mathring{A} = \overline{A} \cap \overline{E \setminus A}. \] Un point \(x \in \partial A\) si et seulement si tout voisinage de \(x\) rencontre à la fois \(A\) et \(E \setminus A\).
La frontière d’une partie \(A\) de \(E\) est : \[ \partial A = \overline{A} \setminus \mathring{A} = \overline{A} \cap \overline{E \setminus A}. \] Un point \(x \in \partial A\) si et seulement si tout voisinage de \(x\) rencontre à la fois \(A\) et \(E \setminus A\).
Définition 14 — Partie dense
Une partie \(A\) de \(E\) est dite dense dans \(E\) si \(\overline{A} = E\), c’est-à-dire si tout ouvert non vide de \(E\) rencontre \(A\).
Une partie \(A\) de \(E\) est dite dense dans \(E\) si \(\overline{A} = E\), c’est-à-dire si tout ouvert non vide de \(E\) rencontre \(A\).
Proposition 10 — Densité et bases
Soit \(A \subseteq E\). Alors \(A\) est dense dans \(E\) si et seulement si pour tout ouvert non vide \(O \in \mathcal{T}\), on a \(O \cap A \neq \varnothing\).
Soit \(A \subseteq E\). Alors \(A\) est dense dans \(E\) si et seulement si pour tout ouvert non vide \(O \in \mathcal{T}\), on a \(O \cap A \neq \varnothing\).
Remarque 5. \(\mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\) pour la topologie usuelle. De même, \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\).
2.7 — Sous-espaces topologiques
Définition 15 — Topologie induite
Soit \((E,\mathcal{T})\) un espace topologique et \(A \subseteq E\). La topologie induite sur \(A\) est : \[ \mathcal{T}_A = \{O \cap A : O \in \mathcal{T}\}. \] Le couple \((A, \mathcal{T}_A)\) est appelé sous-espace topologique de \(E\).
Soit \((E,\mathcal{T})\) un espace topologique et \(A \subseteq E\). La topologie induite sur \(A\) est : \[ \mathcal{T}_A = \{O \cap A : O \in \mathcal{T}\}. \] Le couple \((A, \mathcal{T}_A)\) est appelé sous-espace topologique de \(E\).
Proposition 11 — Fermés dans un sous-espace
Soit \(A\) un sous-espace de \(E\). Un sous-ensemble \(F’ \subseteq A\) est fermé dans \(A\) si et seulement s’il existe un fermé \(F\) de \(E\) tel que \(F’ = F \cap A\).
Soit \(A\) un sous-espace de \(E\). Un sous-ensemble \(F’ \subseteq A\) est fermé dans \(A\) si et seulement s’il existe un fermé \(F\) de \(E\) tel que \(F’ = F \cap A\).
2.8 — Topologie produit
Définition 16 — Topologie produit
Soient \((E_1,\mathcal{T}_1)\) et \((E_2,\mathcal{T}_2)\) deux espaces topologiques. La topologie produit sur \(E_1 \times E_2\) est la topologie engendrée par la famille : \[ \{O_1 \times O_2 : O_1 \in \mathcal{T}_1,\; O_2 \in \mathcal{T}_2\}. \] Cette famille forme une base de la topologie produit.
Soient \((E_1,\mathcal{T}_1)\) et \((E_2,\mathcal{T}_2)\) deux espaces topologiques. La topologie produit sur \(E_1 \times E_2\) est la topologie engendrée par la famille : \[ \{O_1 \times O_2 : O_1 \in \mathcal{T}_1,\; O_2 \in \mathcal{T}_2\}. \] Cette famille forme une base de la topologie produit.
Proposition 12 — Ouvert dans le produit
Un sous-ensemble \(U\) de \(E_1 \times E_2\) est ouvert pour la topologie produit si et seulement si pour tout \((x_1,x_2) \in U\), il existe \(O_1 \in \mathcal{T}_1\) et \(O_2 \in \mathcal{T}_2\) tels que \((x_1,x_2) \in O_1 \times O_2 \subseteq U\).
Un sous-ensemble \(U\) de \(E_1 \times E_2\) est ouvert pour la topologie produit si et seulement si pour tout \((x_1,x_2) \in U\), il existe \(O_1 \in \mathcal{T}_1\) et \(O_2 \in \mathcal{T}_2\) tels que \((x_1,x_2) \in O_1 \times O_2 \subseteq U\).
Remarque 6. Plus généralement, pour une famille \((E_i,\mathcal{T}_i)_{i \in I}\), la topologie produit sur \(\prod_{i \in I} E_i\) est engendrée par les projections canoniques \(\pi_j : \prod_{i \in I} E_i \to E_j\). C’est la topologie la moins fine rendant toutes les projections continues.
Sommaire — Chapitre 3
- 3.1 — Limite d’une application
- 3.2 — Caractérisation séquentielle de la limite
- 3.3 — Applications continues
- 3.4 — Opérations sur les applications continues
- 3.5 — Homéomorphismes
- 3.6 — Applications ouvertes et fermées
- 3.7 — Continuité et topologie produit
- 3.8 — Continuité uniforme
- 3.9 — Applications lipschitziennes
CHAPITRE 3
Limite et continuité
3.1 — Limite d’une application
Définition 17 — Limite d’une application
Soient \((E, \mathcal{T}_E)\) et \((F, \mathcal{T}_F)\) deux espaces topologiques, \(A \subseteq E\), \(f : A \to F\) une application, \(a \in \overline{A}\) et \(\ell \in F\).
On dit que \(f\) admet \(\ell\) pour limite en \(a\) si : \[ \forall\, V \in \mathcal{V}(\ell),\;\exists\, U \in \mathcal{V}(a),\quad f(U \cap A) \subseteq V. \] On note alors \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell\).
Soient \((E, \mathcal{T}_E)\) et \((F, \mathcal{T}_F)\) deux espaces topologiques, \(A \subseteq E\), \(f : A \to F\) une application, \(a \in \overline{A}\) et \(\ell \in F\).
On dit que \(f\) admet \(\ell\) pour limite en \(a\) si : \[ \forall\, V \in \mathcal{V}(\ell),\;\exists\, U \in \mathcal{V}(a),\quad f(U \cap A) \subseteq V. \] On note alors \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell\).
Proposition 13 — Unicité de la limite (cas séparé)
Si \(F\) est un espace séparé (Hausdorff), alors la limite, si elle existe, est unique.
Si \(F\) est un espace séparé (Hausdorff), alors la limite, si elle existe, est unique.
Remarque 7. Dans un espace métrique \((E,d)\), la définition se reformule avec les \(\varepsilon\)-\(\delta\) classiques :
\[ \forall\, \varepsilon > 0,\;\exists\, \delta > 0,\quad \forall\, x \in A,\quad 0 < d_E(x,a) < \delta \implies d_F(f(x), \ell) < \varepsilon. \]
3.2 — Caractérisation séquentielle de la limite
Définition 18 — Suite dans un espace topologique
Une suite dans un espace topologique \((E,\mathcal{T})\) est une application \(u : \mathbb{N} \to E\), notée \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\).
On dit que \((u_n)\) converge vers \(\ell \in E\) si : \[ \forall\, V \in \mathcal{V}(\ell),\;\exists\, N \in \mathbb{N},\quad \forall\, n \geq N,\quad u_n \in V. \]
Une suite dans un espace topologique \((E,\mathcal{T})\) est une application \(u : \mathbb{N} \to E\), notée \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\).
On dit que \((u_n)\) converge vers \(\ell \in E\) si : \[ \forall\, V \in \mathcal{V}(\ell),\;\exists\, N \in \mathbb{N},\quad \forall\, n \geq N,\quad u_n \in V. \]
Proposition 14 — Caractérisation séquentielle (espaces métriques)
Soient \((E,d_E)\) et \((F,d_F)\) des espaces métriques, \(A \subseteq E\), \(a \in \overline{A}\) et \(f : A \to F\). Alors : \[ \lim_{x \to a} f(x) = \ell \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\,(x_n) \in A^{\mathbb{N}},\; x_n \to a \implies f(x_n) \to \ell. \]
Soient \((E,d_E)\) et \((F,d_F)\) des espaces métriques, \(A \subseteq E\), \(a \in \overline{A}\) et \(f : A \to F\). Alors : \[ \lim_{x \to a} f(x) = \ell \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\,(x_n) \in A^{\mathbb{N}},\; x_n \to a \implies f(x_n) \to \ell. \]
Remarque 8. Cette caractérisation est spécifique aux espaces métriques (plus généralement, aux espaces vérifiant le premier axiome de dénombrabilité). Elle ne se généralise pas à tous les espaces topologiques.
3.3 — Applications continues
Définition 19 — Continuité en un point
Soient \((E,\mathcal{T}_E)\) et \((F,\mathcal{T}_F)\) deux espaces topologiques et \(f : E \to F\). On dit que \(f\) est continue en \(a \in E\) si : \[ \forall\, V \in \mathcal{V}(f(a)),\;\exists\, U \in \mathcal{V}(a),\quad f(U) \subseteq V. \] Autrement dit : l’image réciproque de tout voisinage de \(f(a)\) est un voisinage de \(a\).
Soient \((E,\mathcal{T}_E)\) et \((F,\mathcal{T}_F)\) deux espaces topologiques et \(f : E \to F\). On dit que \(f\) est continue en \(a \in E\) si : \[ \forall\, V \in \mathcal{V}(f(a)),\;\exists\, U \in \mathcal{V}(a),\quad f(U) \subseteq V. \] Autrement dit : l’image réciproque de tout voisinage de \(f(a)\) est un voisinage de \(a\).
Définition 20 — Continuité globale
\(f : E \to F\) est continue (sur \(E\)) si elle est continue en tout point de \(E\).
\(f : E \to F\) est continue (sur \(E\)) si elle est continue en tout point de \(E\).
Théorème 1 — Caractérisations de la continuité globale
Soit \(f : (E,\mathcal{T}_E) \to (F,\mathcal{T}_F)\). Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) \(f\) est continue ;
(ii) \(\forall\, O \in \mathcal{T}_F,\quad f^{-1}(O) \in \mathcal{T}_E\) (l’image réciproque de tout ouvert est un ouvert) ;
(iii) pour tout fermé \(F’\) de \(F\), \(f^{-1}(F’)\) est fermé dans \(E\) ;
(iv) \(\forall\, A \subseteq E,\quad f(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}\).
Soit \(f : (E,\mathcal{T}_E) \to (F,\mathcal{T}_F)\). Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) \(f\) est continue ;
(ii) \(\forall\, O \in \mathcal{T}_F,\quad f^{-1}(O) \in \mathcal{T}_E\) (l’image réciproque de tout ouvert est un ouvert) ;
(iii) pour tout fermé \(F’\) de \(F\), \(f^{-1}(F’)\) est fermé dans \(E\) ;
(iv) \(\forall\, A \subseteq E,\quad f(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}\).
Preuve (schéma). (i)⇒(ii) : Si \(f\) est continue en tout point et \(O \in \mathcal{T}_F\), pour tout \(x \in f^{-1}(O)\), \(O\) est voisinage de \(f(x)\), donc \(f^{-1}(O)\) est voisinage de \(x\). Ainsi \(f^{-1}(O)\) est ouvert.
(ii)⇒(iii) : par passage au complémentaire.
(iii)⇒(iv) : \(\overline{f(A)}\) est fermé, donc \(f^{-1}(\overline{f(A)})\) est fermé et contient \(A\), d’où \(\overline{A} \subseteq f^{-1}(\overline{f(A)})\).
(iv)⇒(i) : par vérification directe. ∎
(ii)⇒(iii) : par passage au complémentaire.
(iii)⇒(iv) : \(\overline{f(A)}\) est fermé, donc \(f^{-1}(\overline{f(A)})\) est fermé et contient \(A\), d’où \(\overline{A} \subseteq f^{-1}(\overline{f(A)})\).
(iv)⇒(i) : par vérification directe. ∎
Proposition 15 — Caractérisation séquentielle de la continuité
Soient \((E,d_E)\) et \((F,d_F)\) des espaces métriques. Alors \(f : E \to F\) est continue en \(a\) si et seulement si : \[ \forall\, (x_n) \in E^{\mathbb{N}},\quad x_n \to a \implies f(x_n) \to f(a). \]
Soient \((E,d_E)\) et \((F,d_F)\) des espaces métriques. Alors \(f : E \to F\) est continue en \(a\) si et seulement si : \[ \forall\, (x_n) \in E^{\mathbb{N}},\quad x_n \to a \implies f(x_n) \to f(a). \]
3.4 — Opérations sur les applications continues
Proposition 16 — Composition
Si \(f : E \to F\) est continue en \(a\) et \(g : F \to G\) est continue en \(f(a)\), alors \(g \circ f : E \to G\) est continue en \(a\).
En particulier, la composée de deux applications continues est continue.
Si \(f : E \to F\) est continue en \(a\) et \(g : F \to G\) est continue en \(f(a)\), alors \(g \circ f : E \to G\) est continue en \(a\).
En particulier, la composée de deux applications continues est continue.
Proposition 17 — Continuité et topologie induite
Soit \(f : E \to F\) continue et \(A \subseteq E\) muni de la topologie induite. Alors la restriction \(f|_A : A \to F\) est continue.
Soit \(f : E \to F\) continue et \(A \subseteq E\) muni de la topologie induite. Alors la restriction \(f|_A : A \to F\) est continue.
Proposition 18 — Recollement
Soient \(A_1, \ldots, A_n\) des ouverts de \(E\) tels que \(E = A_1 \cup \cdots \cup A_n\). Si \(f : E \to F\) est telle que chaque restriction \(f|_{A_i}\) est continue, alors \(f\) est continue.
Le résultat reste vrai si les \(A_i\) sont des fermés en nombre fini.
Soient \(A_1, \ldots, A_n\) des ouverts de \(E\) tels que \(E = A_1 \cup \cdots \cup A_n\). Si \(f : E \to F\) est telle que chaque restriction \(f|_{A_i}\) est continue, alors \(f\) est continue.
Le résultat reste vrai si les \(A_i\) sont des fermés en nombre fini.
3.5 — Homéomorphismes
Définition 21 — Homéomorphisme
Une application \(f : E \to F\) est un homéomorphisme si :
(a) \(f\) est bijective ;
(b) \(f\) est continue ;
(c) \(f^{-1}\) est continue.
Deux espaces sont dits homéomorphes s’il existe un homéomorphisme entre eux.
Une application \(f : E \to F\) est un homéomorphisme si :
(a) \(f\) est bijective ;
(b) \(f\) est continue ;
(c) \(f^{-1}\) est continue.
Deux espaces sont dits homéomorphes s’il existe un homéomorphisme entre eux.
Remarque 9. Une bijection continue n’est pas nécessairement un homéomorphisme. Par exemple, l’application
\[ f : [0, 2\pi[ \;\to\; \mathbb{S}^1, \qquad t \mapsto (\cos t, \sin t) \]
est bijective et continue, mais \(f^{-1}\) n’est pas continue.
Proposition 19 — Propriété topologique
Un homéomorphisme préserve toutes les propriétés topologiques : ouverts, fermés, compacité, connexité, etc. Deux espaces homéomorphes sont topologiquement identiques.
Un homéomorphisme préserve toutes les propriétés topologiques : ouverts, fermés, compacité, connexité, etc. Deux espaces homéomorphes sont topologiquement identiques.
3.6 — Applications ouvertes et fermées
Définition 22 — Application ouverte / fermée
Soit \(f : E \to F\) une application.
• \(f\) est ouverte si l’image de tout ouvert de \(E\) est un ouvert de \(F\).
• \(f\) est fermée si l’image de tout fermé de \(E\) est un fermé de \(F\).
Soit \(f : E \to F\) une application.
• \(f\) est ouverte si l’image de tout ouvert de \(E\) est un ouvert de \(F\).
• \(f\) est fermée si l’image de tout fermé de \(E\) est un fermé de \(F\).
Proposition 20 — Caractérisation des homéomorphismes
Soit \(f : E \to F\) bijective et continue. Alors : \[ f \text{ est un homéomorphisme} \;\Longleftrightarrow\; f \text{ est ouverte} \;\Longleftrightarrow\; f \text{ est fermée}. \]
Soit \(f : E \to F\) bijective et continue. Alors : \[ f \text{ est un homéomorphisme} \;\Longleftrightarrow\; f \text{ est ouverte} \;\Longleftrightarrow\; f \text{ est fermée}. \]
3.7 — Continuité et topologie produit
Proposition 21 — Continuité des projections
Les projections canoniques \(\pi_i : E_1 \times E_2 \to E_i\) sont continues et ouvertes pour la topologie produit.
Les projections canoniques \(\pi_i : E_1 \times E_2 \to E_i\) sont continues et ouvertes pour la topologie produit.
Théorème 2 — Propriété universelle de la topologie produit
Soit \(f : X \to E_1 \times E_2\) une application. Alors : \[ f \text{ est continue} \;\Longleftrightarrow\; \pi_1 \circ f \text{ et } \pi_2 \circ f \text{ sont continues.} \] Plus généralement, pour un produit \(\prod_{i \in I} E_i\), \(f\) est continue si et seulement si \(\pi_i \circ f\) est continue pour tout \(i \in I\).
Soit \(f : X \to E_1 \times E_2\) une application. Alors : \[ f \text{ est continue} \;\Longleftrightarrow\; \pi_1 \circ f \text{ et } \pi_2 \circ f \text{ sont continues.} \] Plus généralement, pour un produit \(\prod_{i \in I} E_i\), \(f\) est continue si et seulement si \(\pi_i \circ f\) est continue pour tout \(i \in I\).
Remarque 10. La topologie produit est la topologie la moins fine rendant toutes les projections continues. Ce théorème en est la traduction fonctionnelle.
3.8 — Continuité uniforme (espaces métriques)
Définition 23 — Continuité uniforme
Soient \((E,d_E)\) et \((F,d_F)\) des espaces métriques. Une application \(f : E \to F\) est uniformément continue si : \[ \forall\, \varepsilon > 0,\;\exists\, \delta > 0,\quad \forall\, x,y \in E,\quad d_E(x,y) < \delta \implies d_F(f(x),f(y)) < \varepsilon. \]
Soient \((E,d_E)\) et \((F,d_F)\) des espaces métriques. Une application \(f : E \to F\) est uniformément continue si : \[ \forall\, \varepsilon > 0,\;\exists\, \delta > 0,\quad \forall\, x,y \in E,\quad d_E(x,y) < \delta \implies d_F(f(x),f(y)) < \varepsilon. \]
Proposition 22 — Uniforme \(\Rightarrow\) continue
Toute application uniformément continue est continue. La réciproque est fausse en général.
Toute application uniformément continue est continue. La réciproque est fausse en général.
Remarque 11. Par exemple, \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x \mapsto x^2\) est continue mais pas uniformément continue. En revanche, \(f : x \mapsto \sqrt{x}\) sur \([0,+\infty[\) est uniformément continue.
Théorème 3 — Heine (admis)
Toute application continue d’un espace métrique compact dans un espace métrique est uniformément continue.
Toute application continue d’un espace métrique compact dans un espace métrique est uniformément continue.
3.9 — Applications lipschitziennes
Définition 24 — Application lipschitzienne
\(f : (E,d_E) \to (F,d_F)\) est \(k\)-lipschitzienne (avec \(k \geq 0\)) si : \[ \forall\, x,y \in E,\quad d_F(f(x),f(y)) \leq k\, d_E(x,y). \] Si \(k < 1\), on dit que \(f\) est contractante.
\(f : (E,d_E) \to (F,d_F)\) est \(k\)-lipschitzienne (avec \(k \geq 0\)) si : \[ \forall\, x,y \in E,\quad d_F(f(x),f(y)) \leq k\, d_E(x,y). \] Si \(k < 1\), on dit que \(f\) est contractante.
Proposition 23 — Implications
\[ \text{contractante} \;\Longrightarrow\; \text{lipschitzienne} \;\Longrightarrow\; \text{uniformément continue} \;\Longrightarrow\; \text{continue} \] Aucune des réciproques n’est vraie en général.
\[ \text{contractante} \;\Longrightarrow\; \text{lipschitzienne} \;\Longrightarrow\; \text{uniformément continue} \;\Longrightarrow\; \text{continue} \] Aucune des réciproques n’est vraie en général.
Remarque 12. La distance elle-même est lipschitzienne : pour \(A \subseteq E\) fixé, l’application \(x \mapsto d(x, A)\) est 1-lipschitzienne.
Sommaire — Chapitre 4
CHAPITRE 4
Compacité
4.1 — Recouvrements ouverts
Définition 25 — Recouvrement
Soit \((E,\mathcal{T})\) un espace topologique. Un recouvrement de \(E\) est une famille \((U_i)_{i \in I}\) de parties de \(E\) telle que \(E = \bigcup_{i \in I} U_i\).
Un recouvrement est dit ouvert si chaque \(U_i\) est un ouvert de \(E\).
Un sous-recouvrement est une sous-famille \((U_j)_{j \in J}\), \(J \subseteq I\), qui recouvre encore \(E\).
Soit \((E,\mathcal{T})\) un espace topologique. Un recouvrement de \(E\) est une famille \((U_i)_{i \in I}\) de parties de \(E\) telle que \(E = \bigcup_{i \in I} U_i\).
Un recouvrement est dit ouvert si chaque \(U_i\) est un ouvert de \(E\).
Un sous-recouvrement est une sous-famille \((U_j)_{j \in J}\), \(J \subseteq I\), qui recouvre encore \(E\).
Remarque 13. Tout espace topologique admet le recouvrement ouvert trivial \(\{E\}\). L’intérêt de la compacité est de pouvoir extraire des sous-recouvrements finis de tout recouvrement ouvert.
4.2 — Espaces compacts
Définition 26 — Espace compact
Un espace topologique \((E,\mathcal{T})\) est dit compact s’il est séparé (Hausdorff) et si de tout recouvrement ouvert de \(E\) on peut extraire un sous-recouvrement fini : \[ \forall\, (U_i)_{i \in I} \text{ recouvrement ouvert de } E,\;\exists\, i_1,\ldots,i_n \in I,\quad E = U_{i_1} \cup \cdots \cup U_{i_n}. \]
Un espace topologique \((E,\mathcal{T})\) est dit compact s’il est séparé (Hausdorff) et si de tout recouvrement ouvert de \(E\) on peut extraire un sous-recouvrement fini : \[ \forall\, (U_i)_{i \in I} \text{ recouvrement ouvert de } E,\;\exists\, i_1,\ldots,i_n \in I,\quad E = U_{i_1} \cup \cdots \cup U_{i_n}. \]
Définition 27 — Partie compacte
Une partie \(K\) d’un espace topologique \(E\) est dite compacte si, munie de la topologie induite, elle est un espace compact.
Une partie \(K\) d’un espace topologique \(E\) est dite compacte si, munie de la topologie induite, elle est un espace compact.
Remarque 14. Dans certaines références, un espace vérifiant la propriété de recouvrement fini sans être nécessairement séparé est dit quasi-compact. Dans ce cours, compact implique séparé.
4.3 — Propriétés fondamentales
Proposition 24 — Fermé dans un compact
Toute partie fermée d’un espace compact est compacte.
Toute partie fermée d’un espace compact est compacte.
Proposition 25 — Compact dans un séparé
Toute partie compacte d’un espace séparé est fermée.
Toute partie compacte d’un espace séparé est fermée.
Théorème 4 — Compact dans un métrique
Dans un espace métrique \((E,d)\) :
(i) toute partie compacte est fermée et bornée ;
(ii) la réciproque est fausse en général.
Dans un espace métrique \((E,d)\) :
(i) toute partie compacte est fermée et bornée ;
(ii) la réciproque est fausse en général.
Remarque 15. La réciproque est fausse dans un espace métrique quelconque. Par exemple, la boule unité fermée d’un espace de Banach de dimension infinie est fermée et bornée mais pas compacte.
4.4 — Image continue d’un compact
Théorème 5 — Image continue d’un compact
Soit \(f : E \to F\) continue et \(K \subseteq E\) compact. Alors \(f(K)\) est compact dans \(F\).
Soit \(f : E \to F\) continue et \(K \subseteq E\) compact. Alors \(f(K)\) est compact dans \(F\).
Preuve. Soit \((V_j)_{j \in J}\) un recouvrement ouvert de \(f(K)\). Par continuité, \((f^{-1}(V_j))_{j \in J}\) est un recouvrement ouvert de \(K\). Par compacité, on extrait \(f^{-1}(V_{j_1}), \ldots, f^{-1}(V_{j_n})\), d’où \(f(K) \subseteq V_{j_1} \cup \cdots \cup V_{j_n}\). ∎
Proposition 26 — Théorème des bornes atteintes
Toute application continue \(f : K \to \mathbb{R}\) définie sur un compact \(K\) est bornée et atteint ses bornes.
Toute application continue \(f : K \to \mathbb{R}\) définie sur un compact \(K\) est bornée et atteint ses bornes.
Proposition 27 — Bijection continue compact → séparé
Toute bijection continue \(f : K \to F\), avec \(K\) compact et \(F\) séparé, est un homéomorphisme.
Toute bijection continue \(f : K \to F\), avec \(K\) compact et \(F\) séparé, est un homéomorphisme.
Preuve. Il suffit de montrer que \(f\) est fermée. Soit \(C \subseteq K\) fermé. Alors \(C\) est compact (fermé dans un compact), donc \(f(C)\) est compact (image continue), donc \(f(C)\) est fermé (compact dans un séparé). ∎
4.5 — Borel-Lebesgue
Théorème 6 — Borel-Lebesgue
Dans \(\mathbb{R}^n\) muni de la topologie usuelle : \[ K \text{ est compact} \;\Longleftrightarrow\; K \text{ est fermé et borné.} \]
Dans \(\mathbb{R}^n\) muni de la topologie usuelle : \[ K \text{ est compact} \;\Longleftrightarrow\; K \text{ est fermé et borné.} \]
Remarque 16. Ce théorème est spécifique à \(\mathbb{R}^n\) (dimension finie). Il ne se généralise pas aux espaces de dimension infinie.
Proposition 28 — Compacts de \(\mathbb{R}\)
Les compacts de \(\mathbb{R}\) sont exactement les fermés bornés.
Les compacts de \(\mathbb{R}\) sont exactement les fermés bornés.
4.6 — Caractérisation séquentielle
Définition 28 — Compacité séquentielle
Un espace topologique \(E\) est dit séquentiellement compact si toute suite \((x_n)\) de \(E\) admet une sous-suite convergente dans \(E\).
Un espace topologique \(E\) est dit séquentiellement compact si toute suite \((x_n)\) de \(E\) admet une sous-suite convergente dans \(E\).
Théorème 7 — Bolzano-Weierstrass (espaces métriques)
Soit \((E,d)\) un espace métrique. Alors : \[ E \text{ est compact} \;\Longleftrightarrow\; E \text{ est séquentiellement compact.} \]
Soit \((E,d)\) un espace métrique. Alors : \[ E \text{ est compact} \;\Longleftrightarrow\; E \text{ est séquentiellement compact.} \]
Remarque 17. L’équivalence est propre aux espaces métriques. Dans un espace topologique quelconque, compacité séquentielle et compacité sont des notions distinctes.
4.7 — Produit de compacts — Tychonoff
Théorème 8 — Tychonoff
Le produit \(\prod_{i \in I} K_i\) d’espaces compacts \((K_i)_{i \in I}\), muni de la topologie produit, est compact.
Le produit \(\prod_{i \in I} K_i\) d’espaces compacts \((K_i)_{i \in I}\), muni de la topologie produit, est compact.
Remarque 18. En particulier, pour un produit fini : si \(K_1\) et \(K_2\) sont compacts, alors \(K_1 \times K_2\) est compact. Le théorème de Tychonoff dans le cas général requiert l’axiome du choix.
Proposition 29 — Produit fini de compacts
Si \(K_1 \subseteq E_1\) et \(K_2 \subseteq E_2\) sont compacts, alors \(K_1 \times K_2\) est compact dans \(E_1 \times E_2\) pour la topologie produit.
Si \(K_1 \subseteq E_1\) et \(K_2 \subseteq E_2\) sont compacts, alors \(K_1 \times K_2\) est compact dans \(E_1 \times E_2\) pour la topologie produit.
4.8 — Compacité et complétude
Définition 29 — Espace complet
Un espace métrique \((E,d)\) est dit complet si toute suite de Cauchy dans \(E\) converge dans \(E\).
Un espace métrique \((E,d)\) est dit complet si toute suite de Cauchy dans \(E\) converge dans \(E\).
Proposition 30 — Compact \(\Rightarrow\) complet
Tout espace métrique compact est complet.
Tout espace métrique compact est complet.
Preuve. Soit \((x_n)\) de Cauchy dans \(E\) compact. Par compacité séquentielle, \((x_n)\) admet une sous-suite \((x_{n_k})\) convergente vers \(\ell\). Une suite de Cauchy ayant une sous-suite convergente converge elle-même vers \(\ell\). ∎
Remarque 19. La réciproque est fausse : \(\mathbb{R}\) est complet mais pas compact. Il faut complet et totalement borné pour obtenir la compacité.
Proposition 31 — Caractérisation par Cauchy
Un espace métrique est compact si et seulement s’il est complet et totalement borné.
Un espace métrique est compact si et seulement s’il est complet et totalement borné.
4.9 — Point fixe de Banach
Théorème 9 — Point fixe de Banach (Picard)
Soit \((E,d)\) un espace métrique complet et \(f : E \to E\) une application contractante (\(\exists\, k \in [0,1[\), \(d(f(x),f(y)) \leq k\, d(x,y)\)). Alors \(f\) admet un unique point fixe \(x^* \in E\) : \[ f(x^*) = x^*, \qquad \text{et} \quad \forall\, x_0 \in E,\; x_n = f(x_{n-1}) \to x^*. \] De plus : \(d(x_n, x^*) \leq \dfrac{k^n}{1-k}\, d(x_0, x_1)\).
Soit \((E,d)\) un espace métrique complet et \(f : E \to E\) une application contractante (\(\exists\, k \in [0,1[\), \(d(f(x),f(y)) \leq k\, d(x,y)\)). Alors \(f\) admet un unique point fixe \(x^* \in E\) : \[ f(x^*) = x^*, \qquad \text{et} \quad \forall\, x_0 \in E,\; x_n = f(x_{n-1}) \to x^*. \] De plus : \(d(x_n, x^*) \leq \dfrac{k^n}{1-k}\, d(x_0, x_1)\).
Preuve (schéma). On fixe \(x_0 \in E\) et \(x_{n+1} = f(x_n)\). Par contraction, \(d(x_{n+1},x_n) \leq k^n d(x_1,x_0)\), donc \((x_n)\) est de Cauchy. Par complétude, \(x_n \to x^*\). Par continuité, \(f(x^*) = x^*\). Unicité : \(d(x^*,y^*) = d(f(x^*),f(y^*)) \leq k\,d(x^*,y^*)\) avec \(k < 1\). ∎
Remarque 20. Ce théorème est fondamental en analyse : existence et unicité de solutions d’équations différentielles (Cauchy-Lipschitz), résolution d’équations intégrales, méthodes itératives en analyse numérique.
Sommaire — Chapitre 5
CHAPITRE 5
Connexité
5.1 — Espaces connexes
Définition 30 — Espace connexe
Un espace topologique \((E,\mathcal{T})\) est dit connexe s’il n’existe pas de partition de \(E\) en deux ouverts non vides disjoints. Autrement dit, les seules parties de \(E\) qui sont à la fois ouvertes et fermées sont \(\varnothing\) et \(E\).
Un espace topologique \((E,\mathcal{T})\) est dit connexe s’il n’existe pas de partition de \(E\) en deux ouverts non vides disjoints. Autrement dit, les seules parties de \(E\) qui sont à la fois ouvertes et fermées sont \(\varnothing\) et \(E\).
Définition 31 — Partie connexe
Une partie \(A \subseteq E\) est dite connexe si, munie de la topologie induite, elle est un espace connexe.
Une partie \(A \subseteq E\) est dite connexe si, munie de la topologie induite, elle est un espace connexe.
Proposition 32 — Caractérisation de la non-connexité
\(E\) n’est pas connexe si et seulement s’il existe deux ouverts non vides \(U, V\) de \(E\) tels que : \[ U \cap V = \varnothing \quad\text{et}\quad E = U \cup V. \] On dit alors que \((U,V)\) est une séparation de \(E\).
\(E\) n’est pas connexe si et seulement s’il existe deux ouverts non vides \(U, V\) de \(E\) tels que : \[ U \cap V = \varnothing \quad\text{et}\quad E = U \cup V. \] On dit alors que \((U,V)\) est une séparation de \(E\).
Remarque 21. L’ensemble \(\mathbb{Q}\) muni de la topologie induite de \(\mathbb{R}\) n’est pas connexe : \(U = \mathbb{Q} \cap \,]{-\infty}, \sqrt{2}[\,\) et \(V = \mathbb{Q} \cap \,]\sqrt{2}, +\infty[\,\) forment une séparation.
5.2 — Connexes de \(\mathbb{R}\)
Théorème 10 — Connexes de \(\mathbb{R}\)
Les parties connexes de \(\mathbb{R}\) sont exactement les intervalles (ouverts, fermés, semi-ouverts, bornés ou non).
Les parties connexes de \(\mathbb{R}\) sont exactement les intervalles (ouverts, fermés, semi-ouverts, bornés ou non).
Preuve (schéma). Un intervalle est connexe : si \(I = U \cup V\) avec \(U, V\) ouverts disjoints non vides dans \(I\), on prend \(a \in U\), \(b \in V\) avec \(a < b\). Soit \(c = \sup(U \cap [a,b])\). Alors \(c \in \overline{U} \cap \overline{V}\), contradiction. Réciproquement, si \(A\) n'est pas un intervalle, on construit une séparation. ∎
Remarque 22. Ce théorème est fondamental : il relie la connexité (notion topologique) à la structure d’ordre de \(\mathbb{R}\).
5.3 — Image continue d’un connexe
Théorème 11 — Image continue d’un connexe
Soit \(f : E \to F\) continue et \(C \subseteq E\) connexe. Alors \(f(C)\) est connexe dans \(F\).
Soit \(f : E \to F\) continue et \(C \subseteq E\) connexe. Alors \(f(C)\) est connexe dans \(F\).
Preuve. Si \(f(C) = U \cup V\) avec \(U, V\) ouverts disjoints non vides, alors \(C = f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V)\), une séparation de \(C\), contradiction. ∎
Théorème 12 — Valeurs intermédiaires (TVI)
Soit \(f : E \to \mathbb{R}\) continue avec \(E\) connexe. Si \(f\) prend les valeurs \(a\) et \(b\) (avec \(a < b\)), alors \(f\) prend toute valeur \(c \in [a,b]\).
Soit \(f : E \to \mathbb{R}\) continue avec \(E\) connexe. Si \(f\) prend les valeurs \(a\) et \(b\) (avec \(a < b\)), alors \(f\) prend toute valeur \(c \in [a,b]\).
Preuve. \(f(E)\) est connexe dans \(\mathbb{R}\), donc c’est un intervalle. Comme \(a, b \in f(E)\), on a \([a,b] \subseteq f(E)\). ∎
Remarque 23. Le TVI est une conséquence directe de deux résultats : l’image continue d’un connexe est connexe, et les connexes de \(\mathbb{R}\) sont les intervalles.
5.4 — Opérations sur les connexes
Proposition 33 — Réunion de connexes
Soit \((C_i)_{i \in I}\) une famille de parties connexes de \(E\) telle que \(\bigcap_{i \in I} C_i \neq \varnothing\). Alors \(\bigcup_{i \in I} C_i\) est connexe.
Soit \((C_i)_{i \in I}\) une famille de parties connexes de \(E\) telle que \(\bigcap_{i \in I} C_i \neq \varnothing\). Alors \(\bigcup_{i \in I} C_i\) est connexe.
Proposition 34 — Adhérence d’un connexe
Si \(C\) est connexe et \(C \subseteq A \subseteq \overline{C}\), alors \(A\) est connexe. En particulier, \(\overline{C}\) est connexe.
Si \(C\) est connexe et \(C \subseteq A \subseteq \overline{C}\), alors \(A\) est connexe. En particulier, \(\overline{C}\) est connexe.
Proposition 35 — Produit de connexes
Si \(E_1\) et \(E_2\) sont connexes, alors \(E_1 \times E_2\) est connexe pour la topologie produit. Plus généralement, un produit quelconque d’espaces connexes est connexe.
Si \(E_1\) et \(E_2\) sont connexes, alors \(E_1 \times E_2\) est connexe pour la topologie produit. Plus généralement, un produit quelconque d’espaces connexes est connexe.
5.5 — Composantes connexes
Définition 32 — Composante connexe
Soit \(x \in E\). La composante connexe de \(x\) est la plus grande partie connexe de \(E\) contenant \(x\) : \[ C(x) = \bigcup_{\substack{A \text{ connexe} \\ x \in A}} A. \]
Soit \(x \in E\). La composante connexe de \(x\) est la plus grande partie connexe de \(E\) contenant \(x\) : \[ C(x) = \bigcup_{\substack{A \text{ connexe} \\ x \in A}} A. \]
Proposition 36 — Propriétés des composantes connexes
Les composantes connexes de \(E\) vérifient :
(i) elles forment une partition de \(E\) ;
(ii) chaque composante connexe est fermée ;
(iii) \(E\) est connexe si et seulement s’il a une seule composante connexe.
Les composantes connexes de \(E\) vérifient :
(i) elles forment une partition de \(E\) ;
(ii) chaque composante connexe est fermée ;
(iii) \(E\) est connexe si et seulement s’il a une seule composante connexe.
Remarque 24. Les composantes connexes ne sont pas nécessairement ouvertes. Par exemple, dans \(\mathbb{Q}\), chaque composante connexe est un singleton \(\{q\}\), fermé mais pas ouvert.
5.6 — Connexité par arcs
Définition 33 — Chemin
Soit \((E,\mathcal{T})\) un espace topologique. Un chemin (ou arc) de \(a\) à \(b\) dans \(E\) est une application continue \(\gamma : [0,1] \to E\) telle que \(\gamma(0) = a\) et \(\gamma(1) = b\).
Soit \((E,\mathcal{T})\) un espace topologique. Un chemin (ou arc) de \(a\) à \(b\) dans \(E\) est une application continue \(\gamma : [0,1] \to E\) telle que \(\gamma(0) = a\) et \(\gamma(1) = b\).
Définition 34 — Connexité par arcs
\(E\) est dit connexe par arcs si pour tous \(a, b \in E\), il existe un chemin de \(a\) à \(b\) dans \(E\).
\(E\) est dit connexe par arcs si pour tous \(a, b \in E\), il existe un chemin de \(a\) à \(b\) dans \(E\).
Proposition 37 — Connexe par arcs \(\Rightarrow\) connexe
Tout espace connexe par arcs est connexe. La réciproque est fausse en général.
Tout espace connexe par arcs est connexe. La réciproque est fausse en général.
Preuve. Supposons \(E\) connexe par arcs et \(E = U \cup V\) une séparation. Soient \(a \in U\), \(b \in V\) et \(\gamma : [0,1] \to E\) un chemin de \(a\) à \(b\). Alors \(\gamma^{-1}(U), \gamma^{-1}(V)\) forment une séparation de \([0,1]\), contradisant la connexité de \([0,1]\). ∎
Remarque 25. La réciproque est fausse : le « peigne du topologiste » est connexe mais pas connexe par arcs. En revanche, pour les ouverts de \(\mathbb{R}^n\), connexité et connexité par arcs sont équivalentes.
5.7 — Composantes connexes par arcs
Définition 35 — Composante connexe par arcs
La composante connexe par arcs de \(x \in E\) est l’ensemble des points \(y \in E\) tels qu’il existe un chemin de \(x\) à \(y\) dans \(E\).
La composante connexe par arcs de \(x \in E\) est l’ensemble des points \(y \in E\) tels qu’il existe un chemin de \(x\) à \(y\) dans \(E\).
Proposition 38 — Propriétés
Les composantes connexes par arcs forment une partition de \(E\). Chaque composante connexe par arcs est contenue dans une composante connexe.
Les composantes connexes par arcs forment une partition de \(E\). Chaque composante connexe par arcs est contenue dans une composante connexe.
5.8 — Connexité dans \(\mathbb{R}^n\)
Proposition 39 — Ouverts connexes de \(\mathbb{R}^n\)
Soit \(U\) un ouvert de \(\mathbb{R}^n\). Alors : \[ U \text{ est connexe} \;\Longleftrightarrow\; U \text{ est connexe par arcs.} \]
Soit \(U\) un ouvert de \(\mathbb{R}^n\). Alors : \[ U \text{ est connexe} \;\Longleftrightarrow\; U \text{ est connexe par arcs.} \]
Proposition 40 — Connexité de \(\mathbb{R}^n \setminus \{0\}\)
Pour \(n \geq 2\), \(\mathbb{R}^n \setminus \{0\}\) est connexe (et connexe par arcs). En revanche, \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) n’est pas connexe.
Pour \(n \geq 2\), \(\mathbb{R}^n \setminus \{0\}\) est connexe (et connexe par arcs). En revanche, \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) n’est pas connexe.
Remarque 26. La connexité de \(\mathbb{R}^n \setminus \{0\}\) pour \(n \geq 2\) illustre une propriété topologique discriminante : elle permet de montrer que \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{R}^2\) ne sont pas homéomorphes.
Proposition 41 — Connexité des convexes
Toute partie convexe de \(\mathbb{R}^n\) est connexe par arcs (donc connexe). En particulier, les boules ouvertes, les boules fermées et \(\mathbb{R}^n\) lui-même sont connexes.
Toute partie convexe de \(\mathbb{R}^n\) est connexe par arcs (donc connexe). En particulier, les boules ouvertes, les boules fermées et \(\mathbb{R}^n\) lui-même sont connexes.
Sommaire — Chapitre 6
CHAPITRE 6
Espaces complets
6.1 — Suites de Cauchy
Définition 36 — Suite de Cauchy
Soit \((E,d)\) un espace métrique. Une suite \((x_n)\) de \(E\) est dite de Cauchy si : \[ \forall\, \varepsilon > 0,\;\exists\, N \in \mathbb{N},\quad \forall\, p,q \geq N,\quad d(x_p, x_q) < \varepsilon. \]
Soit \((E,d)\) un espace métrique. Une suite \((x_n)\) de \(E\) est dite de Cauchy si : \[ \forall\, \varepsilon > 0,\;\exists\, N \in \mathbb{N},\quad \forall\, p,q \geq N,\quad d(x_p, x_q) < \varepsilon. \]
Proposition 42 — Convergente \(\Rightarrow\) Cauchy
Toute suite convergente est de Cauchy. La réciproque est fausse en général.
Toute suite convergente est de Cauchy. La réciproque est fausse en général.
Remarque 27. La réciproque est fausse : dans \(\mathbb{Q}\), la suite des approximations décimales de \(\sqrt{2}\) est de Cauchy mais ne converge pas dans \(\mathbb{Q}\).
Proposition 43 — Cauchy bornée et sous-suite
Toute suite de Cauchy est bornée. Si une suite de Cauchy admet une sous-suite convergente, alors elle converge (vers la même limite).
Toute suite de Cauchy est bornée. Si une suite de Cauchy admet une sous-suite convergente, alors elle converge (vers la même limite).
6.2 — Espaces métriques complets
Définition 37 — Espace complet
Un espace métrique \((E,d)\) est dit complet si toute suite de Cauchy dans \(E\) converge dans \(E\).
Un espace métrique \((E,d)\) est dit complet si toute suite de Cauchy dans \(E\) converge dans \(E\).
Remarque 28. La complétude est une propriété métrique, pas topologique : deux distances topologiquement équivalentes peuvent donner l’une un espace complet et l’autre non.
Proposition 44 — Exemples fondamentaux
Les espaces suivants sont complets :
(i) \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{C}\) munis de la distance usuelle ;
(ii) \(\mathbb{R}^n\) muni de toute norme ;
(iii) tout espace compact ;
(iv) tout espace de Banach ;
(v) tout espace de Hilbert.
Les espaces suivants sont complets :
(i) \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{C}\) munis de la distance usuelle ;
(ii) \(\mathbb{R}^n\) muni de toute norme ;
(iii) tout espace compact ;
(iv) tout espace de Banach ;
(v) tout espace de Hilbert.
Remarque 29. \(\mathbb{Q}\) n’est pas complet. L’espace \(]0,1[\) muni de la distance usuelle n’est pas complet non plus.
6.3 — Sous-espaces complets
Théorème 13 — Fermé dans un complet
Soit \((E,d)\) un espace métrique complet et \(F \subseteq E\). Alors : \[ F \text{ est complet} \;\Longleftrightarrow\; F \text{ est fermé dans } E. \]
Soit \((E,d)\) un espace métrique complet et \(F \subseteq E\). Alors : \[ F \text{ est complet} \;\Longleftrightarrow\; F \text{ est fermé dans } E. \]
Preuve. (\(\Rightarrow\)) Si \(F\) complet et \((x_n) \subseteq F\) converge vers \(\ell \in E\), alors \((x_n)\) est de Cauchy dans \(F\), donc \(\ell \in F\). Ainsi \(F\) fermé.
(\(\Leftarrow\)) Si \(F\) fermé et \((x_n)\) de Cauchy dans \(F\), alors converge vers \(\ell \in E\) par complétude de \(E\). Comme \(F\) fermé, \(\ell \in F\). ∎
(\(\Leftarrow\)) Si \(F\) fermé et \((x_n)\) de Cauchy dans \(F\), alors converge vers \(\ell \in E\) par complétude de \(E\). Comme \(F\) fermé, \(\ell \in F\). ∎
Proposition 45 — Conséquences
Tout sous-espace fermé d’un espace de Banach est un Banach. Tout sous-espace fermé d’un Hilbert est un Hilbert.
Tout sous-espace fermé d’un espace de Banach est un Banach. Tout sous-espace fermé d’un Hilbert est un Hilbert.
6.4 — Complétude et produit
Proposition 46 — Produit d’espaces complets
Le produit d’espaces métriques complets, muni de toute distance produit classique, est complet. Se généralise aux produits dénombrables.
Le produit d’espaces métriques complets, muni de toute distance produit classique, est complet. Se généralise aux produits dénombrables.
Remarque 30. \(\mathbb{R}^n\) est complet car produit de \(n\) copies de \(\mathbb{R}\). L’espace \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) des suites réelles est aussi complet.
6.5 — Théorème de Baire
Définition 38 — Partie dense nulle part
Une partie \(A\) de \(E\) est dite dense nulle part (ou rare) si \(\mathring{\overline{A}} = \varnothing\), c’est-à-dire si l’adhérence de \(A\) est d’intérieur vide.
Une partie \(A\) de \(E\) est dite dense nulle part (ou rare) si \(\mathring{\overline{A}} = \varnothing\), c’est-à-dire si l’adhérence de \(A\) est d’intérieur vide.
Définition 39 — Partie maigre / grasse
\(A\) est maigre si \(A\) est une réunion dénombrable de parties rares. \(A\) est de deuxième catégorie (ou gras) s’il n’est pas maigre.
\(A\) est maigre si \(A\) est une réunion dénombrable de parties rares. \(A\) est de deuxième catégorie (ou gras) s’il n’est pas maigre.
Théorème 14 — Baire
Soit \((E,d)\) un espace métrique complet. Alors :
(i) toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense ;
(ii) \(E\) n’est pas maigre ;
(iii) si \(E = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} F_n\) avec \(F_n\) fermés, alors au moins un \(F_n\) est d’intérieur non vide.
Soit \((E,d)\) un espace métrique complet. Alors :
(i) toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense ;
(ii) \(E\) n’est pas maigre ;
(iii) si \(E = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} F_n\) avec \(F_n\) fermés, alors au moins un \(F_n\) est d’intérieur non vide.
Preuve (schéma de (i)). Soient \((U_n)\) des ouverts denses et \(V\) un ouvert non vide. On construit par récurrence des boules fermées emboîtées \(\overline{B}(x_n, r_n)\) avec \(r_n \to 0\) et \(\overline{B}(x_n, r_n) \subseteq U_n \cap V\). La suite \((x_n)\) est de Cauchy, donc converge vers \(\ell \in \bigcap U_n \cap V\). ∎
Remarque 31. Le théorème de Baire a de nombreuses applications fondamentales : théorème de Banach-Steinhaus, théorème de l’application ouverte, théorème du graphe fermé.
6.6 — Applications du théorème de Baire
Proposition 47 — \(\mathbb{Q}\) n’est pas un \(G_\delta\) de \(\mathbb{R}\)
\(\mathbb{Q}\) ne peut pas s’écrire comme intersection dénombrable d’ouverts de \(\mathbb{R}\).
\(\mathbb{Q}\) ne peut pas s’écrire comme intersection dénombrable d’ouverts de \(\mathbb{R}\).
Proposition 48 — Fonctions continues nulle part dérivables
L’ensemble des fonctions continues sur \([0,1]\) qui ne sont dérivables en aucun point est un \(G_\delta\) dense dans \(\mathcal{C}([0,1])\).
L’ensemble des fonctions continues sur \([0,1]\) qui ne sont dérivables en aucun point est un \(G_\delta\) dense dans \(\mathcal{C}([0,1])\).
6.7 — Complétion d’un espace métrique
Définition 40 — Complétion
Soit \((E,d)\) un espace métrique. Un complété de \(E\) est un couple \((\hat{E}, \iota)\) où :
(a) \(\hat{E}\) est un espace métrique complet ;
(b) \(\iota : E \to \hat{E}\) est une isométrie ;
(c) \(\iota(E)\) est dense dans \(\hat{E}\).
Soit \((E,d)\) un espace métrique. Un complété de \(E\) est un couple \((\hat{E}, \iota)\) où :
(a) \(\hat{E}\) est un espace métrique complet ;
(b) \(\iota : E \to \hat{E}\) est une isométrie ;
(c) \(\iota(E)\) est dense dans \(\hat{E}\).
Théorème 15 — Existence et unicité du complété
Tout espace métrique \((E,d)\) admet un complété \((\hat{E}, \hat{d})\), unique à isométrie bijective près.
Tout espace métrique \((E,d)\) admet un complété \((\hat{E}, \hat{d})\), unique à isométrie bijective près.
Preuve (construction). On considère les suites de Cauchy de \(E\) avec la relation \((x_n) \sim (y_n) \Leftrightarrow d(x_n, y_n) \to 0\). Le quotient \(\hat{E}\), muni de \(\hat{d}([(x_n)], [(y_n)]) = \lim d(x_n, y_n)\), est complet. L’application \(\iota : x \mapsto [(x, x, \ldots)]\) est une isométrie d’image dense. ∎
Remarque 32. Exemples classiques : \(\mathbb{Q} \to \mathbb{R}\) ; escalier \(\to L^1\) ; préhilbertien \(\to\) Hilbert.
6.8 — Prolongement des applications uniformément continues
Théorème 16 — Prolongement au complété
Soit \(A\) une partie dense de \((E,d_E)\) et \(f : A \to (F, d_F)\) uniformément continue, avec \(F\) complet. Alors \(f\) se prolonge de manière unique en une application \(\tilde{f} : E \to F\) uniformément continue.
Soit \(A\) une partie dense de \((E,d_E)\) et \(f : A \to (F, d_F)\) uniformément continue, avec \(F\) complet. Alors \(f\) se prolonge de manière unique en une application \(\tilde{f} : E \to F\) uniformément continue.
Remarque 33. Ce théorème justifie la construction du complété : on peut prolonger l’identité sur \(E\) dense dans \(\hat{E}\) vers tout espace complet contenant une copie isométrique de \(E\).
6.9 — Espaces de Banach et de Hilbert
Définition 41 — Espace de Banach
Un espace de Banach est un espace vectoriel normé \((E, \|\cdot\|)\) qui est complet pour la distance induite par la norme : \(d(x,y) = \|x – y\|\).
Un espace de Banach est un espace vectoriel normé \((E, \|\cdot\|)\) qui est complet pour la distance induite par la norme : \(d(x,y) = \|x – y\|\).
Définition 42 — Espace de Hilbert
Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien qui est complet pour la norme induite : \(\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}\).
Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien qui est complet pour la norme induite : \(\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}\).
Proposition 49 — Exemples classiques
Banach : \(\mathbb{R}^n\), \(\ell^p\) (\(1 \leq p \leq \infty\)), \(\mathcal{C}([a,b])\), \(L^p(\Omega)\).
Hilbert : \(\mathbb{R}^n\), \(\mathbb{C}^n\), \(\ell^2\), \(L^2(\Omega)\).
Banach : \(\mathbb{R}^n\), \(\ell^p\) (\(1 \leq p \leq \infty\)), \(\mathcal{C}([a,b])\), \(L^p(\Omega)\).
Hilbert : \(\mathbb{R}^n\), \(\mathbb{C}^n\), \(\ell^2\), \(L^2(\Omega)\).
Proposition 50 — Critère de complétude par les séries
Un espace vectoriel normé \((E, \|\cdot\|)\) est un Banach si et seulement si toute série absolument convergente converge : \[ \sum_{n=0}^{+\infty} \|x_n\| < +\infty \;\Longrightarrow\; \sum_{n=0}^{+\infty} x_n \text{ converge dans } E. \]
Un espace vectoriel normé \((E, \|\cdot\|)\) est un Banach si et seulement si toute série absolument convergente converge : \[ \sum_{n=0}^{+\infty} \|x_n\| < +\infty \;\Longrightarrow\; \sum_{n=0}^{+\infty} x_n \text{ converge dans } E. \]
Remarque 34. Ce critère est très utile en pratique : il est souvent plus facile de vérifier la convergence des séries absolument convergentes que de travailler directement avec les suites de Cauchy.
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