Analyse — préparation à l’écrit

Calculer \(B_n(e_j)\) pour \(e_0=1\), \(e_1=x\), \(e_2=x^2\). En déduire \[\sum_{k=0}^n\Big(\frac kn-x\Big)^2\binom nk x^k(1-x)^{n-k}=\frac{x(1-x)}n\le\frac1{4n}.\] Interpréter \(B_n(f)(x)\) comme l’espérance \(\mathbb E\big[f(S_n/n)\big]\) où \(S_n\) suit une loi binomiale que l’on précisera.

Soit \(f\in\mathcal C([0,1],\R)\). Montrer que pour tout \(\delta>0\), \[\nrm{B_n(f)-f}\le \omega_f(\delta)+\frac{\nrm f}{2n\delta^2}.\] En déduire le théorème de Weierstrass : toute fonction continue sur un segment est limite uniforme de polynômes.

On suppose \(f\) lipschitzienne de rapport \(L\). Montrer que \(\nrm{B_n(f)-f}\le \dfrac{L}{2\sqrt n}\).

Propriétés de forme.

1. Montrer que \(B_n(f)'(x)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Big(f\big(\tfrac{k+1}n\big)-f\big(\tfrac kn\big)\Big)\binom{n-1}k x^k(1-x)^{n-1-k}\). En déduire que si \(f\) est croissante (resp. \(L\)-lipschitzienne), \(B_n(f)\) l’est aussi.
2. Montrer que si \(f\) est convexe, alors \(B_n(f)\ge f\) sur \([0,1]\).

Montrer que \(T\) est bien définie, continue sur \(\R\), \(1\)-périodique, paire, et vérifie \(T(1-x)=T(x)\).

Montrer que si \(x=\frac{k}{2^m}\) avec \(k\in\Z\), \(m\in\N\), alors \(T(x)=\sum_{n=0}^{m-1}\frac{d(2^nx)}{2^n}\). Calculer \(T(\tfrac12)\), \(T(\tfrac14)\), \(T(\tfrac18)\), \(T(\tfrac38)\). Calculer également \(T(\tfrac13)\) et \(T(\tfrac15)\).

Non-dérivabilité. Soit \(x\in[0,1[\). Pour \(m\in\N\), on note \(a_m=\frac{\lfloor 2^m x\rfloor}{2^m}\) et \(b_m=a_m+\frac1{2^m}\), de sorte que \(a_m\le x<b_m\).

1. Soit \(g\) une fonction dérivable en \(x\). Montrer que \(\dfrac{g(b_m)-g(a_m)}{b_m-a_m}\xrightarrow[m\to\infty]{}g'(x)\).
2. Montrer que pour \(n<m\), la fonction \(t\mapsto d(2^nt)\) est affine sur \([a_m,b_m]\) de pente \(\pm2^n\), et que pour \(n\ge m\), \(d(2^na_m)=d(2^nb_m)=0\).
3. En déduire que \(s_m=\dfrac{T(b_m)-T(a_m)}{b_m-a_m}\) est une somme de \(m\) termes valant \(\pm1\), puis que \(T\) n’est dérivable en aucun point.
4. Calculer \(s_m\) lorsque \(x=0\). En déduire que \(T\) n’est lipschitzienne sur aucun voisinage de \(0\).

Établir, pour \(x\in[0,\frac12]\) : \(T(x)=x+\frac12T(2x)\) et, pour \(x\in[\frac12,1]\) : \(T(x)=1-x+\frac12T(2x-1)\).

Montrer que \(T\) est l’unique fonction bornée sur \([0,1]\) vérifiant les deux relations de la question précédente. (On pourra considérer la différence de deux solutions.)

On note \(M=\sup_{[0,1]}T\).

1. Montrer que pour \(x\in[0,\frac14]\), \(T(x)\le\frac14+\frac M2\).
2. Montrer que pour \(x\in[\frac14,\frac12]\), \(T(x)=\frac12+\frac14T(4x-1)\), et en déduire \(T(x)\le\frac12+\frac M4\).
3. Conclure que \(M=\frac23\), et que ce maximum est atteint en \(\frac13\) et \(\frac23\).

Montrer que \((B_n(T))_n\) converge uniformément vers \(T\) sur \([0,1]\), mais que \(\nrm{B_n(T)’}\xrightarrow[n\to\infty]{}+\infty\). Que retenir quant à la dérivation terme à terme d’une limite uniforme ?

Montrer que pour \(x\in]-1,1[\), \(f(x)-S=(x-1)\sum_{n=0}^{+\infty}R_nx^n\).

En déduire que \(f(x)\xrightarrow[x\to1^-]{}S\).

Applications.

1. Retrouver \(\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n}{n+1}=\ln2\) et \(\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac\pi4\).
2. Soient \(\sum b_n\), \(\sum c_n\) deux séries convergentes de sommes \(B\), \(C\), et \(d_n=\sum_{k=0}^nb_kc_{n-k}\). Montrer que si \(\sum d_n\) converge, alors sa somme vaut \(BC\).

Montrer à l’aide de \(a_n=(-1)^n\) que la réciproque du théorème d’Abel est fausse.

On suppose que \(na_n\to0\) et que \(f(x)\xrightarrow[x\to1^-]{}S\). Pour \(N\ge1\) on pose \(x_N=1-\frac1N\).

1. Montrer que \(|A_N-f(x_N)|\le \frac1N\sum_{n=1}^N n|a_n|+\frac{1}{N(1-x_N)}\sup_{n>N}n|a_n|\).
2. Conclure que \(\sum a_n\) converge et a pour somme \(S\).

Montrer que la conclusion subsiste si l’on remplace l’hypothèse \(na_n\to0\) par : \(\frac1N\sum_{n=1}^Nn a_n\to0\) (second théorème de Tauber). (On pourra appliquer la question précédente à une série auxiliaire bien choisie, après une transformation d’Abel.)

Montrer que pour tout polynôme \(P\in\R[X]\), \[(1-x)\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^nP(x^n)\xrightarrow[x\to1^-]{}\ell\int_0^1P(t)\dd t .\]

On définit \(g\) sur \([0,1]\) par \(g(t)=0\) si \(t<e^{-1}\) et \(g(t)=\frac1t\) si \(t\ge e^{-1}\). Soit \(\eps>0\).

1. Construire deux fonctions continues \(h_1\le g\le h_2\) sur \([0,1]\) telles que \(\int_0^1(h_2-h_1)\le\eps\).
2. En déduire l’existence de deux polynômes \(P_1\le g\le P_2\) sur \([0,1]\) tels que \(\int_0^1(P_2-P_1)\le3\eps\).

En utilisant la positivité des \(a_n\), en déduire que \((1-x)\sum_{n\ge0}a_nx^ng(x^n)\xrightarrow[x\to1^-]{}\ell\).

Conclure en choisissant \(x=e^{-1/N}\).

Montrer que l’hypothèse de positivité ne peut pas être supprimée, en considérant \(a_n=(-1)^n(n+1)\).

Soit \(\alpha>0\). On rappelle que \(\int_0^1t^k\big(\ln\tfrac1t\big)^{\alpha-1}\dd t=\dfrac{\Gamma(\alpha)}{(k+1)^\alpha}\) pour \(k\in\N\). Montrer que si \(a_n\ge0\) et \((1-x)^\alpha f(x)\to\ell\) quand \(x\to1^-\), alors \[A_N\underset{N\to\infty}{\sim}\frac{\ell}{\Gamma(\alpha+1)}N^\alpha\quad(\text{si }\ell>0).\] (Reprendre la partie III en munissant \([0,1]\) du poids \(w(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(\ln\frac1t)^{\alpha-1}\).)

Soit \(\theta(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n^2}\) pour \(x\in]-1,1[\). Par comparaison série–intégrale, montrer que \(\sqrt{1-x}\,\theta(x)\xrightarrow[x\to1^-]{}\frac{\sqrt\pi}2\). Vérifier la cohérence de la question précédente avec le nombre de carrés parfaits inférieurs à \(N\).

Pour \(m\in\N\), on note \(r(m)\) le nombre de couples \((a,b)\in\N^2\) tels que \(a^2+b^2=m\). Montrer que \[\#\{(a,b)\in\N^2 : a^2+b^2\le N\}\underset{N\to\infty}{\sim}\frac{\pi N}{4}.\] Interpréter géométriquement.

Soit \(D_n(t)=\sum_{k=-n}^ne^{ikt}\). Montrer que \(D_n(t)=\dfrac{\sin\big((n+\frac12)t\big)}{\sin(t/2)}\) pour \(t\notin2\pi\Z\), et que \(S_nf=f*D_n\).

Soit \(F_N=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}D_n\). Montrer que \[F_N(t)=\sum_{|k|<N}\Big(1-\frac{|k|}N\Big)e^{ikt}=\frac1N\left(\frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)}\right)^2\quad(t\notin2\pi\Z),\] et que \(\sigma_Nf=f*F_N\).

Montrer que \(F_N\ge0\), que \(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi F_N=1\) et que, pour \(\delta\in]0,\pi[\), \(\sup_{\delta\le|t|\le\pi}F_N(t)\le\dfrac1{N\sin^2(\delta/2)}\).

Théorème de Fejér. Montrer que pour tout \(f\in\mathcal C_{2\pi}\), \(\sigma_Nf\to f\) uniformément sur \(\R\).

Conséquences. Soit \(f\in\mathcal C_{2\pi}\).

1. Montrer que les polynômes trigonométriques sont denses dans \((\mathcal C_{2\pi},\nrm\cdot)\).
2. Montrer que si \(c_k(f)=0\) pour tout \(k\in\Z\), alors \(f=0\).
3. Montrer que si \(\sum_{k\in\Z}|c_k(f)|<+\infty\), alors \(S_nf\to f\) uniformément.
4. Montrer que si \((S_nf(x_0))_n\) converge, sa limite est \(f(x_0)\).
5. Retrouver le théorème de Weierstrass sur \([-1,1]\) à partir du théorème de Fejér (on pourra considérer \(\varphi(\theta)=h(\cos\theta)\) pour \(h\in\mathcal C([-1,1])\)).

Calculer les coefficients de Fourier de \(f\) et montrer que \[G_n:=S_{2n-1}f=S_{2n}f,\qquad G_n(x)=\frac4\pi\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\sin\big((2k+1)x\big)}{2k+1}.\]

Montrer que \(G_n'(x)=\dfrac{2}{\pi}\,\dfrac{\sin(2nx)}{\sin x}\) pour \(x\notin\pi\Z\), puis que \(G_n(x)=\frac2\pi\int_0^x\frac{\sin(2nt)}{\sin t}\dd t\). Étudier les variations de \(G_n\) sur \(]0,\frac\pi2]\) et montrer que \(G_n\) y atteint son maximum en \(x_n=\frac\pi{2n}\).

On admet que \(\int_0^{+\infty}\frac{\sin u}u\dd u=\frac\pi2\).

1. Montrer que pour tout \(x\in]0,\pi[\), \(G_n(x)\to1\). (On pourra écrire \(\frac1{\sin t}=\frac1t+\varphi(t)\) avec \(\varphi\) de classe \(\mathcal C^1\) sur \([0,x]\).)
2. Montrer que \(G_n(x_n)\xrightarrow[n\to\infty]{}\dfrac2\pi\displaystyle\int_0^\pi\frac{\sin u}u\dd u\).
3. On donne \(\frac2\pi\int_0^\pi\frac{\sin u}u\dd u\approx1{,}1790\). Interpréter : la convergence de \(S_nf\) vers \(f\) n’est pas uniforme sur \(]0,\pi[\), et le «  dépassement » représente environ \(9\,\%\) du saut de \(f\) en \(0\).

Montrer que pour tout \(N\), \(\sigma_Nf\) est à valeurs dans \([-1,1]\) : les moyennes de Fejér ne présentent pas de phénomène de Gibbs.

On pose \(L_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi|D_n(t)|\dd t\). Montrer que \(L_n\ge\dfrac4{\pi^2}H_n\), où \(H_n=\sum_{k=1}^n\frac1k\). En déduire \(L_n\to+\infty\).

On considère la forme linéaire \(\Lambda_n:f\mapsto S_nf(0)\) sur \((\mathcal C_{2\pi},\nrm\cdot)\).

1. Montrer que \(\Lambda_n\) est continue et que \(\|\Lambda_n\|\le L_n\).
2. Montrer que \(\|\Lambda_n\|=L_n\). (On pourra approcher la fonction \(\operatorname{sgn}(D_n)\) par des fonctions continues à valeurs dans \([-1,1]\).)

À l’aide du théorème de Banach–Steinhaus, montrer qu’il existe \(f\in\mathcal C_{2\pi}\) telle que \(\sup_n|S_nf(0)|=+\infty\), et même que l’ensemble de ces fonctions est un \(G_\delta\) dense de \(\mathcal C_{2\pi}\).

Conclure en comparant les théorèmes de Dirichlet, de Fejér et le résultat précédent : quelles sont les «  bonnes » hypothèses pour la convergence ponctuelle de \(S_nf\) ? Pour sa convergence uniforme ?

Montrer que la fonction \(f\) est bien définie sur \(\R\).
Pour tout \(p\in\N\), on note \(\Gamma_p=\int_0^{+\infty}t^pe^{-t}\dd t\).

Pour tout \(p\in\N\), justifier l’existence de \(\Gamma_p\) et déterminer une relation entre \(\Gamma_{p+1}\) et \(\Gamma_p\).

En déduire, pour tout \(p\in\N\), la valeur de \(\Gamma_p\).

Montrer que \(f\) est indéfiniment dérivable sur \(\R\) et déterminer, pour tout \(x\in\R\) et tout \(p\in\N\), \(f^{(p)}(x)\).

En déduire le rayon de convergence de la série entière \(\sum_{p\ge0}\frac{f^{(p)}(0)}{p!}x^p\). La fonction \(f\) est-elle développable en série entière au voisinage de \(0\) ?
On considère la fonction \(g\) définie sur \(\R\) par : \(\forall x\in\R,\ g(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}e^{-k(1-ikx)}\).

Montrer que \(g\) est indéfiniment dérivable sur \(\R\) et déterminer, pour tout \(x\in\R\) et tout \(p\in\N\), \(g^{(p)}(x)\).

Montrer que pour tout \(p\in\N\), \(\big|g^{(p)}(0)\big|\ge p^{2p}e^{-p}\).

En déduire le rayon de convergence de la série entière \(\sum_{p\ge0}\frac{g^{(p)}(0)}{p!}x^p\). La fonction \(g\) est-elle développable en série entière au voisinage de \(0\) ?

Soient \(a\) et \(b\) deux réels avec \(a>0\). Choisir sans justification l’expression correcte de \(a^b\) : (A) : \(e^{b\ln(a)}\) (B) : \(e^{a\ln(b)}\) (C) : \(e^{\ln(a)\ln(b)}\).

Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(x<y\) et \(t\) un réel de \(]0,1[\). Comparer \(t^x\) et \(t^y\).

Donner, sans démonstration, le développement en série entière de la fonction exponentielle réelle et donner son domaine de validité.

On considère la fonction \(\Gamma\) définie par \(\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\dd t\). On admet que cette fonction est définie sur \(]0,+\infty[\) et que, pour tout réel \(x\) strictement positif : \(\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)\). Calculer \(\Gamma(1)\) et en déduire, en effectuant un raisonnement par récurrence, la valeur de \(\Gamma(n+1)\) pour \(n\in\N\).

Pour \(x\in\R\), on note, lorsque cela a un sens : \(F(x)=\displaystyle\int_0^1t^{t^x}\dd t\) où, comme il est d’usage, \(t^{t^x}=t^{(t^x)}\).

Déterminer l’ensemble de définition de \(F\).

Déterminer le sens de variation de \(F\).

Démontrer que pour tout \(x\) réel positif, on a : \(F(x)\ge\frac12\).

Démontrer que \(F\) est continue sur son ensemble de définition.

Déterminer \(\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}F(x)\). Les théorèmes utilisés seront cités avec précision et on s’assurera que leurs hypothèses sont bien vérifiées.

Dresser alors avec soin le tableau de variations de \(F\) et donner une allure générale de sa courbe représentative dans un repère orthonormal. On admettra que \(F'(0)=\frac14\) et on tracera la tangente au point d’abscisse \(x=0\).

Soit \(x\) un réel strictement positif. Pour tout entier naturel \(n\), on note \(g_n\) la fonction définie sur \(]0,1]\) par \(g_n(t)=\dfrac{t^{nx}\ln^n(t)}{n!}\).

Démontrer que la série de fonctions \(\sum_{n\in\N}g_n\) converge simplement sur \(]0,1]\) et donner sa somme.

Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(\displaystyle\int_0^1|g_n(t)|\dd t=\frac1{n!}\,\frac{\Gamma(n+1)}{(nx+1)^{n+1}}\).

Établir enfin que l’on a : \(\displaystyle F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(1+nx)^{n+1}}\).

Montrer que : \(\forall t\in\R_+\), \(|\sin(t)|\le t\).

Montrer que les fonctions \(F\), \(G\) et \(H\) sont bien définies sur \(]0,+\infty[\).

Montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=0\).

Montrer que \(F\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(]0,+\infty[\) et exprimer \(F’\) à l’aide de la fonction \(G\).

Trouver une expression simple pour \(G\) et pour \(H\). On pourra calculer \(H(x)+iG(x)\). En déduire, pour \(\alpha\in\,]0,+\infty[\), la valeur de \(\int_0^{+\infty}e^{-tx}\cos(\alpha t)\dd t\).

En déduire une expression simple pour \(F\). Que vaut \(F(1)\) ?

Partie II — Autour de la formule de Viète.

Montrer que pour tout \(t>0\) et pour tout \(n\in\N^*\) : \(\displaystyle\prod_{k=1}^n\cos\Big(\frac t{2^k}\Big)=\frac{\sin(t)}{2^n\sin(t/2^n)}\).

Montrer que pour tout \(t>0\) et pour tout \(n\in\N^*\) : \(\displaystyle\prod_{k=1}^n\cos\Big(\frac t{2^k}\Big)=\frac1{2^{n-1}}\sum_{k=1}^{2^{n-1}}\cos\Big(\frac{2k-1}{2^n}t\Big)\).
On pourra raisonner par récurrence et utiliser l’identité : \(\cos(a)\cos(b)=\frac12\big(\cos(a+b)+\cos(a-b)\big)\).

En déduire que pour tout \(t>0\) : \(\displaystyle\frac{\sin(t)}t=\lim_{n\to+\infty}\frac1{2^{n-1}}\sum_{k=1}^{2^{n-1}}\cos\Big(\frac{2k-1}{2^n}t\Big)\).

Montrer que pour tout \(x>0\) : \(\displaystyle F(x)=\lim_{n\to+\infty}\frac1{2^{n-1}}\sum_{k=1}^{2^{n-1}}\int_0^{+\infty}\cos\Big(\frac{2k-1}{2^n}t\Big)e^{-tx}\dd t\).
On pourra introduire, pour tout \(n\in\N^*\), la fonction \(f_n:\,]0,+\infty[\,\to\R\) définie par :\[\forall t\in\,]0,+\infty[,\qquad f_n(t)=\frac1{2^{n-1}}\sum_{k=1}^{2^{n-1}}\cos\Big(\frac{2k-1}{2^n}t\Big)e^{-tx}.\]

En déduire que : \(\displaystyle\frac\pi4=\lim_{n\to+\infty}2^{n+1}\sum_{k=1}^{2^{n-1}}\frac1{(2k-1)^2+2^{2n}}\).
L’objet des trois questions suivantes est de redémontrer le résultat précédent de façon plus élémentaire.

Déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}2^{n+1}\sum_{k=0}^{2^{n-1}}\frac1{4k^2+2^{2n}}\) en écrivant cette quantité à l’aide d’une somme de Riemann.

Soit \(n\in\N^*\). Montrer que pour tout \(k\in\ent{0,2^{n-1}}\) : \[\left|\frac1{4k^2+2^{2n}}-\frac1{(2k-1)^2+2^{2n}}\right|\le\frac{4\times2^{n-1}+1}{1+2^{2n}}\times\frac1{4k^2+2^{2n}} .\]

En déduire que : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}2^{n+1}\sum_{k=0}^{2^{n-1}}\Big(\frac1{4k^2+2^{2n}}-\frac1{(2k-1)^2+2^{2n}}\Big)=0\) et retrouver le résultat de la question Q11.

Démontrer que \(H\) est définie et de classe \(\mathcal C^\infty\) sur \(\R\). Donner une expression de \(H'(x)\).

Étudier la parité de la fonction \(H\).

Démontrer que la fonction \(t\mapsto e^{it^2}\) est développable en série entière au voisinage de \(0\). En déduire un développement en série entière de la fonction \(H\) au voisinage de \(0\), en précisant l’intervalle sur lequel ce développement est valable.

Si \(x>0\), démontrer que : \(H(x)=\dfrac12\displaystyle\int_0^{x^2}\frac{e^{iu}}{\sqrt u}\dd u\).

Pour \(x>\sqrt{2\pi}\), en déduire que : \(\displaystyle H(x)-H\big(\sqrt{2\pi}\big)=-i\,\frac{e^{ix^2}}{2x}+\frac{i}{2\sqrt{2\pi}}-\frac i4\int_{2\pi}^{x^2}\frac{e^{iu}}{u^{3/2}}\dd u\).

En déduire que l’intégrale généralisée \(\int_0^{+\infty}e^{it^2}\dd t\) converge.

Partie II — Calcul des intégrales de Fresnel. Dans cette partie, on étudie la fonction \(g\) d’expression : \[g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-x^2(t^2-i)}}{t^2-i}\dd t .\qquad\text{Pour cela, on pose}\quad f(x,t)=\frac{e^{-x^2(t^2-i)}}{t^2-i}.\]

Si \((x,t)\in\R^2\), déterminer les modules des nombres complexes \(e^{-x^2(t^2-i)}\) et \(t^2-i\).

Démontrer que \(g\) est définie et continue sur \(\R\) (on pourra utiliser un argument de parité).

Soit \((x_n)_n\) une suite divergente vers \(+\infty\). À l’aide du théorème de convergence dominée, démontrer que \(\lim\limits_{n\to+\infty}g(x_n)=0\). En déduire la limite de \(g\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

Démontrer que \(g\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(\R^*\).

On admet dans cette question que l’intégrale \(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\dd t\) converge et est égale à \(\sqrt\pi\). Vérifier que : \(\forall x>0,\ g'(x)=-2\sqrt\pi\,e^{ix^2}\).

Décomposer dans \(\C(X)\) la fraction rationnelle \(\dfrac1{X^2-i}\). On admet ensuite que : \[\frac1{X^2-i}=\frac{1-i}4\times\left[\frac{\sqrt2}2\times\frac{2X-\sqrt2}{X^2-\sqrt2X+1}+\frac{i}{X^2-\sqrt2X+1}-\frac{\sqrt2}2\times\frac{2X+\sqrt2}{X^2+\sqrt2X+1}+\frac{i}{X^2+\sqrt2X+1}\right].\] Démontrer que \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac1{t^2-\sqrt2t+1}\dd t=\pi\sqrt2\). Donner la valeur de \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac1{t^2+\sqrt2t+1}\dd t\) puis déterminer la valeur de \(g(0)\).

En déduire que : \(\forall x>0,\ g(x)=\dfrac{(1+i)\pi}{\sqrt2}-2\sqrt\pi\times H(x)\), où la fonction \(H\) a été introduite dans la partie I. Donner ensuite les valeurs de \(\int_0^{+\infty}e^{it^2}\dd t\), de \(\int_0^{+\infty}\cos(t^2)\dd t\) et de \(\int_0^{+\infty}\sin(t^2)\dd t\).

Démontrer que \(x\mapsto\dfrac{x^{\alpha-1}}{1+x}\) est intégrable sur \(]0,1]\) et sur \([1,+\infty[\).

Démontrer que \(J(\alpha)=I(1-\alpha)\).
On se propose maintenant d’écrire \(I(\alpha)\) sous forme d’une somme de série.

1^re tentative. Pour tout \(x\in\,]0,1[\), on pose \(f_n(x)=(-1)^nx^{n+\alpha-1}\). Montrer que : \(\forall x\in\,]0,1[,\ \dfrac{x^{\alpha-1}}{1+x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x)\). La série de fonctions \(\sum f_n\) converge-t-elle uniformément sur \(]0,1[\) ?

2^e tentative. Pour tout \(x\in\,]0,1[\), on pose : \(S_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^kx^{k+\alpha-1}\). À l’aide du théorème de convergence dominée, montrer que : \(I(\alpha)=\lim\limits_{n\to+\infty}\displaystyle\int_0^1S_n(x)\dd x\). En déduire une expression de \(I(\alpha)\) sous forme d’une somme de série.

En déduire que : \(\displaystyle I(\alpha)+J(\alpha)=\int_0^{+\infty}\frac{x^{\alpha-1}}{1+x}\dd x=\frac1\alpha+2\alpha\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\alpha^2-n^2}\).
On admet la formule suivante (Note : L’énoncé original écrit \(\forall x\in\R\) ; la formule n’est en fait valable que pour \(x\in[-\pi,\pi]\), ce qui suffit ici puisqu’on ne l’utilise qu’en \(x=0\). (Note de Pr. Elakili.)) : \(\displaystyle\forall x\in\R,\ \cos(\alpha x)=\frac{\sin(\pi\alpha)}\pi\left(\frac1\alpha+\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{2\alpha\cos(nx)}{\alpha^2-n^2}\right)\).

Démontrer que : \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x^{\alpha-1}}{1+x}\dd x=\frac\pi{\sin(\alpha\pi)}\).

Partie II — Lien avec la fonction Gamma. Dans toute la suite, on pose : \[\forall x\in\,]0,+\infty[,\ \Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\dd t\qquad\text{et}\qquad\forall x\in[0,+\infty[,\ f_\alpha(x)=\int_0^{+\infty}\frac{t^{\alpha-1}}{t+1}e^{-xt}\dd t .\]

Démontrer que \(\Gamma\) est bien définie sur \(]0,+\infty[\).

Démontrer que \(f_\alpha\) est bien définie et continue sur \([0,+\infty[\).

Démontrer que \(f_\alpha\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(]0,+\infty[\) et calculer sa dérivée.

Déterminer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f_\alpha(x)\).

Démontrer que \(t\mapsto\dfrac{e^{-t}}{t^\alpha}\) est intégrable sur \(]0,+\infty[\). En déduire : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t^\alpha}\dd t\).

Partie III — Vers la formule des compléments.

Pour tout \(x\in\,]0,+\infty[\), démontrer que : \(f_\alpha(x)-f_\alpha'(x)=\dfrac{\Gamma(\alpha)}{x^\alpha}\).

Pour tout \(x\in\,]0,+\infty[\), on pose : \(g_\alpha(x)=\Gamma(\alpha)\,e^x\displaystyle\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t^\alpha}\dd t\). Vérifier que \(g_\alpha\) est une solution particulière de l’équation différentielle \(y-y’=\dfrac{\Gamma(\alpha)}{x^\alpha}\). En déduire que \(\forall x\in\,]0,+\infty[,\ f_\alpha(x)=g_\alpha(x)\).

En déduire que : \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t^{\alpha-1}}{t+1}\dd t=\Gamma(\alpha)\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t^\alpha}\dd t\).

Démontrer l’identité suivante (formule des compléments) : \(\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha)=\dfrac\pi{\sin(\alpha\pi)}\).

En déduire la valeur de l’intégrale de Gauss : \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\dd t\).

Soit \(f\in\I\). Montrer que \(\ft f\) est définie, continue et bornée sur \(\R\), avec \(\|\ft f\|_\infty\le\nun f\). En déduire que \(f\mapsto\ft f\) est une application linéaire continue de \((\I,\nun\cdot)\) dans l’espace des fonctions continues bornées muni de \(\|\cdot\|_\infty\).

Opérations. Soient \(f\in\I\), \(a\in\R\) et \(\lambda>0\). Exprimer à l’aide de \(\ft f\) les transformées de Fourier de \(x\mapsto f(x-a)\), \(x\mapsto e^{iax}f(x)\), \(x\mapsto f(\lambda x)\) et \(x\mapsto\overline{f(x)}\). Montrer que si \(f\) est paire (resp. réelle et paire), alors \(\ft f\) est paire (resp. réelle et paire).

Lemme de Riemann–Lebesgue.

1. Soit \(g\in\I\) continue, de classe \(\mathcal C^1\) par morceaux et à support compact. Montrer que \(|\ft g(\xi)|\le\dfrac{\nun{g’}}{|\xi|}\) pour \(\xi\ne0\).
2. Soient \(f\in\I\) et \(\eps>0\). Montrer qu’il existe \(g\) comme en a) telle que \(\nun{f-g}\le\eps\). (On pourra tronquer \(f\) en dehors d’un segment, puis utiliser une interpolation affine par morceaux.)
3. En déduire que \(\ft f(\xi)\to0\) quand \(|\xi|\to+\infty\).

Régularité et décroissance.

1. On suppose que \(x\mapsto xf(x)\) appartient à \(\I\). Montrer que \(\ft f\) est de classe \(\mathcal C^1\) et que \((\ft f)’\) est la transformée de Fourier de \(x\mapsto-ixf(x)\). Généraliser : si \(x\mapsto x^kf(x)\in\I\) pour \(0\le k\le n\), alors \(\ft f\) est de classe \(\mathcal C^n\).
2. On suppose \(f\) de classe \(\mathcal C^1\) avec \(f,f’\in\I\). Montrer que \(f\) tend vers \(0\) en \(\pm\infty\), puis que \(\ft{f’}(\xi)=i\xi\,\ft f(\xi)\). Généraliser : si \(f\) est de classe \(\mathcal C^n\) avec \(f^{(k)}\in\I\) pour \(0\le k\le n\), alors \(\ft f(\xi)=o(|\xi|^{-n})\).
3. Commenter : à quelle propriété de \(\ft f\) correspond la régularité de \(f\) ? sa décroissance ?

Soit \(a>0\). Montrer que la transformée de Fourier de \(x\mapsto e^{-a|x|}\) est \(\xi\mapsto\dfrac{2a}{a^2+\xi^2}\).

Montrer que \(\ft\Delta(\xi)=\dfrac{4\sin^2(\xi/2)}{\xi^2}\) pour \(\xi\ne0\), et \(\ft\Delta(0)=1\). Vérifier que \(\ft\Delta\in\I\).

La gaussienne.

1. Montrer que \(\ft\gamma\) est de classe \(\mathcal C^1\) et vérifie \((\ft\gamma)'(\xi)=-\xi\,\ft\gamma(\xi)\).
2. En déduire que \(\ft\gamma=\sqrt{2\pi}\,\gamma\).
3. Pour \(a>0\), calculer la transformée de Fourier de \(x\mapsto e^{-ax^2}\).

Soient \(f,g\in\I\) avec \(g\) bornée.

1. Montrer que \(f*g\) est définie, continue et bornée sur \(\R\), avec \(\|f*g\|_\infty\le\nun f\,\|g\|_\infty\).
2. À l’aide de (R1), montrer que \(f*g\in\I\), que \(\nun{f*g}\le\nun f\nun g\) et que \(\ft{f*g}=\ft f\,\ft g\).

Formule de dualité. Soient \(f,g\in\I\). Montrer que \(\displaystyle\int_\R\ft f(\xi)\,g(\xi)\dd\xi=\int_\R f(x)\,\ft g(x)\dd x\).

Une approximation de l’unité.

1. Vérifier que \(\int_\R G_\eps=1\) et que, pour tout \(\delta>0\), \(\int_{|t|\ge\delta}G_\eps(t)\dd t\to0\) et \(\sup_{|t|\ge\delta}G_\eps(t)\to0\) quand \(\eps\to0^+\).
2. Soit \(f\in\I\). Montrer que, pour tout \(x\in\R\), \((f*G_\eps)(x)\xrightarrow[\eps\to0^+]{}f(x)\).

Soit \(f\in\I\). À l’aide de la formule de dualité et de la question 7, montrer que pour tous \(x\in\R\) et \(\eps>0\), \[\frac1{2\pi}\int_\R\ft f(\xi)\,e^{ix\xi}\,e^{-\eps^2\xi^2/2}\dd\xi=(f*G_\eps)(x).\]

Théorème d’inversion. Soit \(f\in\I\) telle que \(\ft f\in\I\). Montrer que \[\forall x\in\R,\qquad f(x)=\frac1{2\pi}\int_\R\ft f(\xi)\,e^{ix\xi}\dd\xi .\] En déduire :

1. l’injectivité de \(f\mapsto\ft f\) sur \(\I\) ;
2. la relation \(\ft{\ft f}(x)=2\pi f(-x)\) ;
3. que \(f\) est alors bornée et tend vers \(0\) en \(\pm\infty\).

Applications.

1. Calculer la transformée de Fourier de \(x\mapsto\dfrac1{1+x^2}\).
2. Montrer que \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin^2u}{u^2}\dd u=\pi\).
3. Calculer \(\gamma*\gamma\) sans calculer d’intégrale de convolution.
4. Montrer qu’il n’existe pas de fonction \(u\in\I\) bornée telle que \(f*u=f\) pour toute \(f\in\I\) bornée. Déterminer les \(f\in\I\) bornées telles que \(f*f=f\).

Soit \(f\in\I\) bornée. On pose \(\tilde f(x)=\overline{f(-x)}\) et \(h=f*\tilde f\).

1. Montrer que \(h\in\I\), que \(h\) est bornée, que \(h(0)=\int_\R|f|^2\) et que \(\ft h=|\ft f|^2\).
2. À l’aide de la question 11, montrer que \(\displaystyle\frac1{2\pi}\int_\R|\ft f(\xi)|^2e^{-\eps^2\xi^2/2}\dd\xi\xrightarrow[\eps\to0^+]{}\int_\R|f|^2\).
3. En déduire que \(\ft f\) est de carré intégrable et que \(\displaystyle\int_\R|\ft f|^2=2\pi\int_\R|f|^2\) (formule de Plancherel). Aucune hypothèse d’intégrabilité sur \(\ft f\) n’est requise !

Applications. Établir, pour \(f,g\in\I\) bornées, la formule \(\int_\R f\overline g=\frac1{2\pi}\int_\R\ft f\,\overline{\ft g}\). Calculer \[\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin^4u}{u^4}\dd u\qquad\text{et}\qquad\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\dd\xi}{(a^2+\xi^2)^2}\quad(a>0).\]

Vérifier que \(f\) et \(f’\) sont dans \(\I\) et bornées, et que \(x\mapsto xf(x)\) est de carré intégrable. Montrer que \[\int_\R|f|^2=-2\,\mathrm{Re}\int_\R x\,f(x)\,\overline{f'(x)}\dd x .\]

En déduire l’inégalité de Heisenberg : \[\left(\int_\R x^2|f(x)|^2\dd x\right)\left(\int_\R\xi^2|\ft f(\xi)|^2\dd\xi\right)\ \ge\ \frac\pi2\left(\int_\R|f|^2\right)^2 .\]

Montrer qu’il y a égalité si et seulement si \(f\) est de la forme \(x\mapsto Ce^{-cx^2}\) avec \(C\in\C\) et \(c>0\). Interpréter : une fonction et sa transformée de Fourier ne peuvent pas être simultanément très concentrées.

Formule sommatoire de Poisson. Soit \(f\) comme dans la partie VI.

1. Montrer que \(F(x)=\sum_{n\in\Z}f(x+n)\) définit une fonction \(1\)-périodique de classe \(\mathcal C^1\) sur \(\R\).
2. Montrer que les coefficients de Fourier de \(F\) sont \(c_k(F)=\int_0^1F(x)e^{-2i\pi kx}\dd x=\ft f(2\pi k)\).
3. En déduire la formule de Poisson : \(\displaystyle\sum_{n\in\Z}f(n)=\sum_{k\in\Z}\ft f(2\pi k)\).
4. Application. Pour \(t>0\), on pose \(\theta(t)=\sum_{n\in\Z}e^{-\pi n^2t}\). Montrer que \(\theta(t)=\dfrac1{\sqrt t}\,\theta\Big(\dfrac1t\Big)\), puis donner un équivalent de \(\theta(t)\) quand \(t\to0^+\).

Théorème d’échantillonnage de Shannon–Whittaker. Soit \(f\in\I\) telle que \(\ft f\) soit nulle en dehors de \([-\pi,\pi]\). On note \(\operatorname{sinc}(u)=\frac{\sin u}u\) pour \(u\neq0\) et \(\operatorname{sinc}(0)=1\).

1. Montrer que \(\ft f\in\I\), puis que \(f\) est de classe \(\mathcal C^\infty\).
2. Soit \(\varphi\) la fonction \(2\pi\)-périodique qui coïncide avec \(\ft f\) sur \([-\pi,\pi]\). Justifier que \(\varphi\) est continue et que ses coefficients de Fourier sont \(c_n(\varphi)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\varphi(\xi)e^{-in\xi}\dd\xi=f(-n)\).
3. À l’aide de (R2), montrer que \(\sum_{n\in\Z}|f(n)|^2<+\infty\) et que \[f(x)=\sum_{n\in\Z}f(n)\,\operatorname{sinc}\big(\pi(x-n)\big),\] la série convergeant uniformément sur \(\R\).
4. Conclure : un signal dont le spectre est contenu dans \([-\pi,\pi]\) est entièrement déterminé par ses valeurs aux entiers. En particulier, si \(f(n)=0\) pour tout \(n\in\Z\), alors \(f=0\).